Примеры с решениями:

Для практического применения признаков сравнения необходимо иметь некоторый набор уже изученных рядов, с которыми будет сравниваться исследуемый ряд. Приведем известные нам ряды:

1. Ряд (геометрический) сходится при и всяком

2. Ряд сходится.

3. Ряд (гармонический) расходится.

4. Ряд (обобщенный гармонический или ряд Дирихле) сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Исследовать по признакам сравнения сходимость данных рядов:

1) .

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Так как , то данный ряд сходится.

2) .

Сравним с геометрическим рядом , который сходится ( ). Так как

(n=3,4,..), то данный ряд сходится. Заметим, что первые члены рядов не подчиняются данной оценке, но согласно свойствам рядов это на факт сходимости не влияет.

3) , (a>0)

Сравним с расходящимся гармоническим рядом _.

, и .

Следовательно, данный ряд расходится.

Исследовать по признаку Даламбера сходимость данных рядов:

4) ;

;

Ряд сходится.

5) ;

Ряд сходится.

6)

Ряд расходится.

Заметим, что здесь

Ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости (Для раскрытия неопределенности применяем правило Лопиталя).

Примеры для практических занятий:

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения:

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

16) ; 17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) .

Ответы:

7) расходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) расходится; 11) расходится; 12) расходится;

13) сходится; 14) расходится; 15) расходится; 16) сходится; 17) сходится;18) расходится;

19) сходится; 20) расходится; 21) сходится; 22) расходится.

Примеры для самостоятельного решения:

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения:

23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ; 31) .

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

32) ; 33) ; 34) ; 35) ;

36) ; 37) ; 38) ; 39)

Ответы:

23) расходится; 24) сходится; 25) расходится; 26) сходится;

27) сходится; 28) сходится; 29) сходится; 30) расходится;

31) сходится; 32) сходится; 33) расходится; 34) сходится;

35) расходится; 36) сходится; 37) сходится; 38) сходится;

39) сходится.

Практическое занятие №20.

Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды (общий случай).

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение знакочередующегося ряда.

2. Сформулируйте признак сходимости Лейбница.

3. Дайте определение знакопеременного ряда.

4. Сформулируйте теорему об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

5. Дайте определение абсолютно и условно (не абсолютно) сходящегося ряда.

6. Укажите свойства абсолютно сходящихся рядов.

Примеры с решениями:

Исследовать характер сходимости следующих рядов:

– ряд:

а) знакочередующийся;

б) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

в) _.

Выполнены все условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится.

Для выяснения характера сходимости рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: – расходится (гармонический ряд). Следовательно, данный ряд сходится условно.

2) – ряд:

а) знакочередующийся;

б) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

в) _.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Ряд из модулей

сходится как обобщенный гармонический (p=4/3>1). Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

3) - ряд:

а) знакочередующийся;

б) … абсолютные величины членов ряда возрастают, т.е. не выполняется второе условие признака Лейбница, а значит, этот признак не применим.

Рассмотрим ряд из модулей и применим признак Даламбера:

ряд сходится.

Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) – ряд:

а) знакочередующийся;

б) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

в) _.

не выполняется третье условие признака Лейбница, т.е. не выполняется необходимое условие сходящегося ряда, поэтому данный ряд расходится.

Примеры для практических занятий:

Исследовать характер сходимости следующих рядов:

5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13)

14) 15) 16) 17)

18) 19)

Ответы:

5) сходится условно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится абсолютно; 8) сходится абсолютно; 9) сходится абсолютно; 10) сходится условно; 11) сходится абсолютно;

12) расходится; 13) сходится условно; 14) расходится; 15) сходится абсолютно ;

16) расходится; 17) сходится абсолютно; 18) сходится абсолютно; 19) сходится абсолютно.

Примеры для самостоятельного решения:

20) 21) 22) 23) 24)

25) 26) 27) 28) 29)

30) 31)

Ответы:

20) сходится абсолютно; 21) сходится условно; 22) расходится; 23) сходится условно;

24) расходится; 25) сходится условно; 26) расходится; 27) сходится абсолютно;

28) расходится; 29) сходится абсолютно; 30) сходится абсолютно; 31) сходится абсолютно.

Практическое занятие №21.

Степенные ряды.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение степенного ряда.

2. Сформулируйте теорему Абеля.

3. Укажите формулу для вычисления радиуса сходимости.

4. Дайте определение промежутка (интервала) сходимости и области сходимости степенного ряда.

Примеры с решениями:

Найти области сходимости степенных рядов:

_{1) .}

Промежуток сходимости

Исследуем поведение ряда на концах промежутка:

_{сходится по признаку Лейбница (условно).}

_{расходится (гармоничный ряд).}

_{Итак, область сходимости [-3,3).}

2)

Промежуток сходимости (- ; ).

x= : имеем ряд 1+1+1+… , который расходится как геометрический с q=1

x= - : имеем ряд 1-1+1-1+…., который расходится как геометрический с q= -1.

Область сходимости (- , ).

3) R = = = = =

= = e.

Промежуток сходимости (-е,е).

x=e: =

= = = = > 1,

т. к. < e при любых конечных значениях n.

Отсюда > , т. е. члены полученного числового ряда растут с ростом n, следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости ( = 0) и ряд расходится.

x= -e : - ряд знакочередующийся, который расходится по той же причине.

Область сходимости (-е,е).

4) .

Для рядов по четным или нечетным степеням x формула для радиуса сходимости имеет вид

,

следовательно, и промежуток сходимости .

: ;

: ;

Оба ряда знакочередующиеся и сходятся по признаку Лейбница.

Область сходимости

5) − ряд по четным степеням .

Радиус сходимости можно определить по формуле примера 4). А можно вопрос о сходимости решить применением признака Даламбера для ряда из модулей членов данного ряда:

=

= =

Промежуток сходимости (2,4).

X=2 : - сходится (ряд Дирихле при р=2>1)

X=4 : получаем аналогичный ряд.

Область сходимости .

Примеры для практических занятий:

Найти области сходимости рядов:

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) .

Ответы:

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) x=0 ; 13) ; 14) .

Примеры для самостоятельного решения:

Найти области сходимости рядов:

15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ; 23) .

Ответы:

15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ; 23) .

Практическое занятие №22.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения рядов Тейлора и Маклорена.

2. Укажите необходимые и достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора и Маклорена.

3. По каким формулам вычисляются коэффициенты указанных рядов.

4. Укажите план (порядок действий) разложения данной функции f(x) в ряд Тейлора (Маклорена).

Примеры с решениями:

Будем рассматривать два основных приема разложения функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

1. Непосредственное разложение, т.е. по указанному выше плану.

2. Применение простейших разложений и действий над степенными рядами.

1) Разложить в ряд Маклорена функцию

1. Находим производные , , , ...

2. Вычисляем , , , ...

... , , ...

3. Составляем коэффициенты ряда

4. Составляем (формально) ряд Маклорена

5. Находим радиус сходимости

6. .

Заметим, что указанное разложение можно получить, используя разложение

и представление

Заменяя t на xln3, получаем

2) Разложить в ряд по степеням х функцию

f(x) =

Так как , то искомое разложение получим путем почленного суммирования рядов, представляющих функции

и :

_{3) разложить в ряд по степеням x функцию}

_{Разложим f(x) на простейшие дроби:}

_{Отсюда A=1, B=2. Следовательно}

_{Так как:}

_то

_.

_{4) Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = ln(x+2) в окресности точки a=1.}

_{1. Находим производные}

2. Вычисляем:

; ; ; ; ; …; ;…

3. Составляем коэффициенты ряда:

4. Составляем ряд Тейлора:

5. Находим радиус сходимости R и интервал сходимости

6. Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости:

- расходится (гармонический).

- сходится по признаку Лейбница.

7.

Примеры для практических занятий:

Разложить в степенные ряды данные функции в окрестностях указанных точек и найти их области сходимости:

5) = , а = -2; 6) = , а = 0;

7) = , a = 2; 8) = , a = 0;

9) = , a = 0; 9) = , a =1.

Ответы:

_;

_{Примеры для самостоятельной работы:}

_{Задание смотрите выше.}

Ответы:

Практическое занятие №23.

Ряды Фурье.

Контрольные вопросы.

1. Какая функция называется периодической и каковы ее свойства?

2. Какой ряд называется тригонометрическим? В чем состоит задача разложения функции в тригонометрический ряд?

3. Назовите основную тригонометрическую систему функций и укажите ее свойства.

4. Каковы условия разложения функции в ряд Фурье?

5. Сформулируйте теорему Дирихле.

Примеры с решениями:

1. Разложить в ряд Фурье функцию

периода

Решение: эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, ее график представлен на рисунке a); b).

1

y=f(x)

a

x

-2

-

2

3

)

b

3

-

-2

2

x

1

) S(x)

Вычисляем коэффициенты Фурье:

;

;

Ряд Фурье:

Сумма ряда S(x) отличается от f(x) в точках разрыва x=±n , в которых сумма ряда равна (рис. b)

2) Разложить в ряд Фурье функцию

при .

Решение: l=3

Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Вычисляем коэффициенты Фурье:

;

=

=

Ряд Фурье:

= -3 f(x) 3 x

S(x) 3

3/2

Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:

3) 4) 5)

6) 7)

Ответы:

3)

4)

5)

6)

7)

Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:

8) ; 9) ;

10) ; 11)

12) .

Ответы:

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12)

Практическое занятие №24.

Ряды Фурье (продолжение).

Контрольные вопросы.

1. Ряды Фурье для четной и нечетной функции.

2. Разложение в ряд Фурье, заданный в промежутке

Примеры с решениями:

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x² при

Решение: функция четная, удовлетворяет условия Дирихле,

Ряд Фурье:

при

2. Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=x на

Решение: график f(х) и ее нечетное продолжение на симметричную часть промежутка [-π,0) представлены на рисунке, из которого видно, что f(х) на [-π,π] удовлетворяет условиям Дирихле и нечетная. Поэтому коэффициенты Фурье вычисляем по формулам а₀=0 , а_n=0 .

f(x)

- x

-

Ряд Фурье:

Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

3)

4)

5)

6)Разложить в ряд Фурье по косинусам

7) Разложить в ряд Фурье по синусам

Ответы:

3) 4)

5) 6)

7)

Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

8) 9)

10)Разложить в ряд Фурье по синусам

11) Разложить в ряд Фурье по косинусам

Ответы:

8) 9)

10) 11)

Практическое занятие №25.

Функции нескольких переменных.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение функции нескольких переменных и области ее определения.

2. Дайте геометрическое толкование функции двух переменных и ее области определения.

3. Дайте определение частных производных функции двух переменных и их геометрическое толкование.

4. Определите полный дифференциал функции двух переменных и укажите его связь с полным приращением функции.

Примеры с решениями:

Найти область определения функций:

1)

(вся плоскость xoy, за исключением начала координат);

2)

(внутренность круга радиуса R=1 с центром в начале координат); область ограниченная, незамкнутая;

3)

(множество точек, лежащих выше параболы ); область не ограниченная, незамкнутая;

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

4)

5)

Найти полные дифференциалы функций:

6)

7)

Примеры для практических занятий:

Найти области определения функций:

8) 9) 10)

11) 12)

Найти частные производные данных функций:

13) 14) 15)

16) 17)

Найти полные дифференциалы функций:

18) 19) 20)

Ответы:

8) квадрат - область ограниченная, замкнутая;

9) - вся плоскость, кроме точек, лежащих на окружности

- неограниченная, незамкнутая область;

10) - полуплоскость, расположенная над прямой

- неограниченная, незамкнутая область;

11) две полосы и

12) .

При x=0 функция не определена;

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Примеры для самостоятельного решения:

Найти области определения функций:

21) 22) 23) 24)

25) 26) 27)

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

28) 29) 30) 31)

Найти полные дифференциалы функций:

32) 33) 34) 35)

Ответы:

21) первый и третий квадраты, за исключением прямых x=0, y=0;

22)вся плоскость, кроме начала координат;

23)

24) полуплоскость, расположенная под прямой

25) 26) 27) 28)

29) 30)

31) 32)

33) 34)

35)

Практическое занятие №26.

Функции нескольких переменных (продолжение).

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение второй, третьей и n-ой частной производной.

2. Дайте определение второго, третьего и n-го дифференциала.

3. Укажите символические формулы для выражения, второго, третьего и n-го полных дифференциалов через частные производные функции

4. Укажите правила дифференцирования сложной функции нескольких аргументов.

Примеры с решениями:

1) Найти частные производные и полный дифференциал второго порядка функции

Решение:

Находим

2) Найти полную и частную производные функции где

Решение:

3) Найти частные производные и функции где

Решение:

Примеры для практических занятий:

Найти функций:

4) где 5) где 6) где

Найти и функции:

7) где

Найти и функций:

8) где 9) где

Найти :

10)

Ответы:

4) 5) 6)

7)

8)

9) 10)

Примеры для самостоятельных занятий:

Найти функций:

11) где 12) где

13) где

Найти и функции:

14) где

Найти и функций:

15) где 16) где

Найти : 17)

Ответы:

11) 12) 13)

14) 15) 16)

17)

Практическое занятие №27.

Скалярное поле.

Контрольные вопросы.

1. Как и при каких условиях определяется производная от неявной функции одного аргумента, двух аргументов?

2. Приведите определение скалярного поля.

3. Какие поверхности называют поверхностями уровней? Запишите уравнение поверхностей уровня в декартовых координатах.

4. Приведите определение производной по направлению от скалярной функции и укажите формулу для ее вычисления в декартовых координатах.

Примеры с решениями:

1)Дано уравнение Найти

Решение:

Неявная функция задана уравнением вида где

В этом случае

при условии, что

2)Функция переменных и задана уравнением

Найти и

Решение:

при

при

3) Найти поверхности уровня скалярного поля

Решение:

Поверхности уровня находятся из уравнения Отсюда это семейство круговых конусов с общей вершиной в начале координат (в начале координат поле неопределенно).

4)Найти линии уровня плоского поля

Решение:

Линии уровня находятся из уравнения это семейство концентрических окружностей с центром в начале координат радиуса

5)Найти производную по направлению от точки к точке плоского скалярного поля в точке

Решение:

Находим

Направление определяется вектором его длина

Направляющие косинусы

Тогда

Примеры для практических занятий:

6) Найти если y как неявная функция x задается уравнением:

a) b) c)

7)Найти и если неявная функция z двух переменных задается уравнением:

a) b)

8)Найти поверхности уровня скалярных полей:

a) b) c)

9)Найти линии уровня плоских скалярных полей:

a) b) c)

10) Найти производную по направлению вектора скалярного поля в точке

11)Найти производную функции в точке по направлению к точке

12)Найти производную функции в точке окружности по дуге окружности (направление отсчета s по часовой стрелке).

Ответы:

6) a) b) c)

7) a) b)

8) a) семейство параллельных плоскостей;

b) семейство конусов с вершиной в начале координат и осью симметрии OZ;

c) семейство концентрических сфер с центром в начале координат и радиусом

9) a) семейство параллельных прямых; b) семейство парабол;

c) семейство парабол;

10) 11) 12)

Примеры для самостоятельных занятий:

13) Найти если y как неявная функция x задается уравнением:

1. 

2. 

3. 

4. в точке M(-1,2).

14)Найти и если неявная функция z двух переменных задается уравнением:

a) b) в точке M(-1,2,0).

15)Найти поверхности (линии) уровня скалярных полей:

a) b) c) d)

Найти производные скалярных полей в указанных точках по заданным направлениям:

16) в точке M(3,1) по направлению к точке N(7,4);

17) в точке M(1,1,1) по направлению

18) в точке M(3,1,1) по направлению вектора если образует с осями координат острые углы причем .

Ответы:

13) a) b) c) d)2;

14) a) b)

15) a) семейство концентрических сфер с центром в начале координат;

b) семейство круговых конусов собщей вершиной в начале координат;

c) семейство параллельных прямых;

d) семейство эллипсов;

16) 17) 18)

Практическое занятие №28.

Градиент скалярного поля.

Контрольные вопросы.

1. Приведите различные определения градиента скалярного поля.

2. Укажите формулу вычисления градиента в декартовых координатах.

3. В каком направлении производная скалярного поля принимает наибольшее значение? Наименьшее значение?

4. В чем состоит основное свойство градиента?

Каков физический смысл градиента?

Примеры с решениями:

1) Найти градиент скалярного поля в точке M(2,-1,0).

Решение:

Находим частные производные данной функции в точке М:

Следовательно,

2)Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке М(6,4).

Решение:

3)Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке М(3,4).

Решение:

Находим и :

Пусть угол между указанными векторами. Тогда

откуда

Примеры для практических занятий:

4)Найти градиент скалярного поля в точке (1,1,-1);

5)Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля в точке (-1, ½,-1);

6)Найти угол между градиентами поля в точках А(2,3,-1) и В(1,-1,2).

Ответы:

4) 5) 6)

Примеры для самостоятельных занятий:

7)Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

8)Найти точки, в которых градиент функции равен

9)Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля в точке А(2,2,1),

где

10)Найти производную скалярного поля в точке М(-2,2,1) по направлению где

11)Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке

Ответы:

7)точки окружности 8) 9) 10) 11)

Практическое занятие №29.

Экстремумы функции нескольких переменных.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

2. В чем состоит необходимое и достаточное условие локального экстремума?

3. Укажите схему отыскания локального экстремума.

Примеры с решениями:

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

Находим точки, подозрительные на экстремум

Получили четыре точки, подозрительные на экстремум:

Находим матрицу Гессе:

Находим матрицу Гессе в полученных точках, находим угловые миноры и делаем вывод о наличии экстремума:

экстремума нет;

экстремума нет.

Примеры для практических занятий:

Исследовать на экстремум функции:

1. 

2. 

3. 

Ответы:

1)

экстремума нет;

экстремума нет;

2. экстремума нет;

экстремума нет;

3)

Примеры для самостоятельных занятий:

Исследовать на экстремум функции:

4) 5) 6)

Ответы:

4) экстремума нет;

экстремума нет;

5)

6) экстремума нет;

Практическое занятие №30.

Двойной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение двумерной интегральной суммы.

2. Дайте определение двойного интеграла и перечислите его основные свойства.

3. Каков геометрический смысл двойного интеграла если во всех точках области

4. Укажите типы областей в декартовых координатах, когда вычисление двойного интеграла сводится к одному повторному.

Примеры с решениями:

Вычислить заданные двойные интегралы по указанных областям интегрирования:

1. 

Решение:

Сначала изображаем область (рис.1).

y

1

Рис. 1. 1 x

Для указанной прямоугольной области интеграл сводится к одному повторному:

или

Вычисляем

Заметим, что при интегрировании внутреннего интеграла по y переменную x рассматриваем как const.

2. где область ограничена линиями и

Решение:

И зображаем область (рис.2).

y

1

B

A

0 Рис.2. 1 x

Для определения пределов интегрирования по x решаем систему:

Для определения пределов интегрирования по y проводим прямую, параллельную оси OY: получаем «точку входа» в область А на линии и «точку выхода» В на линии .

Итак,

Следовательно,

3. Вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями

Решение:

Изображаем область (рис.3).

y

4

2

0 Рис.3. 4 x

По свойству двойного интеграла площадь плоской области

Примеры для практических занятий:

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:

9. 

10. 

Ответы:

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:

17. 

18. 

Ответы:

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Наука, М., 1969.

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие для вузов. Высшая школа. М., 1984.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. Наука, М., 1982.

4. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай А.Г., Головач Г.И. Математический анализ в примерах и задачах. Высшая школа, Ч.1 – 1974., Ч.2 – 1977.

5. Сборник задач по математическому анализу. ВАС. Часть 1 – 1984. Часть 2 – 1985.

6. Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. Наука, 1997.

Панневиц Оксана Владимировна,

Рыбакин Альберт Сергеевич,

к.т.н.

Математический анализ

Учебно-методическое пособие

Рецензенты Рейнов Ю.И., к.т.н., доцент кафедры математики СПб филиала ГУ-ВШЭ

Тамонов А.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры математики ФИНЭКа

Тех. редактор

Верстка