Примеры с решениями:
Вычислить интегралы:
;
=e-2;
;
.
Преобразуем подынтегральную функцию:
т.к. во втором интеграле подынтегральная функция нечетная.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и
В ыполним чертеж. Для нахождения площади S заштрихованной области определяем пределы интегрирования:
Примеры для практических занятий.
Вычислить интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
|
|
|
Ответы:
;
1;
ln2;
;
;
;
2;
2;
a) кв.ед.;
b) кв.ед. ;
c) кв.ед.;
d) кв.ед.;
Примеры для самостоятельного решения:
Вычислить интегралы:
;
;
;
;
;
;
;
;
24) ;
.
26) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
, ;
, y=0, x=0, x=3;
, y=x , x=1, x=1+е , y=0;
, , x=2, y=0.
Ответы:
16) ; 17) ; 18) ;19) ; 20) ; 21) ;22) 0; 23) ; 24) 0; 25) 0;24) a) 4,5 кв.ед.; b) 21 кв.ед;с) 3,5 кв.ед.; d) +ln2 кв.ед.
Практическое занятие №18.
Несобственные интегралы.
Контрольные вопросы.
1) Выполнение каких условий обязательно при определении интеграла в собственном смысле слова?
2) Можно ли несобственный интеграл рассматривать как предел интегральных сумм с конечным числом слагаемых?
3)Приведите определение несобственного интеграла с бесконечными пределами.
Примеры с решениями:
Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость:
1) данный интеграл расходится.
2)
3)
данный интеграл сходится.
Примеры для практических занятий:
Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость:
4) 5) 6) 7) ;
8) 9) ; 10) .
11)Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
Ответы:
4) 2; 5) ; 6) расходится; 7) ; 8) расходится; 9) 1; 10) 1- ; 11) кв.ед.
Примеры для самостоятельного решения:
12) 13) ; 14) ; 15)
16) ; 17) ; 18) ; 19)
20) ; 21) ; 22) Вычислить площадь бесконечной полосы, заключенной между кривой и осью абсцисс.
Ответы:
12) 1; 13) 1; 14) расходится; 15) ; 16) 17) ; 18) ; 19) расходится; 20) ;
21) ; 22) кв.ед.
Практическое занятие №19.
Положительные ряды.
Контрольные вопросы.
1. Дать определение числового ряда.
2. В каком случае ряд называется сходящимся, в каком – расходящимся?
3. Дать определение суммы, частной суммы и n-го остатка сходящегося ряда.
4. Перечислить свойства рядов.
5. Сформулируйте необходимые признаки сходимости рядов.
6. В чем состоит необходимый и достаточный признак сходимости положительного ряда?
7. Сформулируйте достаточные признаки сходимости положительных рядов:
-признаки сравнения и их предельные формулировка;
-признак Даламбера.