Примеры для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
17) ; 18) ; 19) ; 20) ;
; 22) ; 23) ; 24) ;
25) 26) ; 27) ; 28) .
Ответы:
18) ; 19)
20) 21) ; 22) ;
; 24) 25)
26) 27) 28)
Практическое занятие №14.
Интегрирование рациональных функций.
Контрольные вопросы.
1.Каков общий вид целой рациональной функции (полинома) степени n (x)?
2. Что называется корнем (нулем) функции (x)?
3. На какие множители разлагается полином n-ой степени с вещественными коэффициентами?
4. Какие корни называются простыми; какие корни называются кратными?
5. Какого вида дроби называются простейшими?
6. К каким четырем типам интегралов приводит интегрирование правильной рациональной дроби?
7. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений?
Сформулируйте общее правило интегрирования рациональной дроби.
Примеры с решениями:
Найти интегралы:
1) I=
Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выделим целую часть в правильной дроби.
Разложим знаменатель на множители:
= +
Разложим на простейшие правильную дробь:
= + + .
Освободимся от знаменателей, умножив обе части на
5 .
Коэффициенты A, B, C найдем методом частных значений, давая x значения, равные корням знаменателя:
x = 1 5 ∙ 1 4 = A(1 + 1) (1 + 2) A =
x = 5 ∙ 1 4 = B( ( B =
x = 5 ∙ 4 4 = C(4 C = .
Итак, I = + - + = = .
2) I = .
Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Корни знаменателя вещественные:
x=2 – простой; x= - кратности 3. Разложение на простейшие принимает вид:
= + + +
Освобождаемся от знаменателей:
К оэффициенты разложения определяем методом частных значений, придавая x любые значения, в том числе = и = 2 (корни знаменателя):
x = 1 + 2 = C(
x = 2 4 + 2 = D D =
Последняя система принимает вид:
A = , B = .
Итак, I = + + = + + + + c = с + .
3) I = .
Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Знаменатель представляет произведение простых квадратичных множителей (вещественных корней нет). Разложение дроби принимает вид:
= + .
Освобождаясь от знаменателей, получаем
8 = (A + B)( +1) + (C + D)( +2).
Коэффициенты находим методом неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
8 = A + C A + C = 8
= B + D A + 2C = 13 A = 3, C = 5
13 = A + 2C B + D =
= B + 2D B + 2D = B = , D = 0.
Итак, I = + 5 = arctg + .
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
4) ; 5) ;
6) 7) ;
8) ; 9) ;
10) 11) .
Ответы:
4) + 2 + c;
2 + arctg + c;
6) + + arctgx+ c;
7) + c;
8) + c;
9)
10) arctg + c;
11) arctg + arctg( + c.
Примеры для самостоятельного решения:
Найти интегралы:
12) ; 13) ; 14) ;
15) 16) ; 17) ;
18) ; 19) ; 20) ;
21) ; 22) .
Ответы:
12) ; 13) ;
14) ; 15) ;
16) ; 17)
18) arctg ; 19) arctg x+с ;
20) 21) arctg arctg x+c ;
22) arctg (x 2) + с.
Практическое занятие №15.
Интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса.
Контрольные вопросы.
Какой подстановкой , где R- рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной?
В каких случаях может быть взят с помощью подстановки t= t= , t= ?
Как берутся интегралы , где m и n- целые числа?
Как интегрируется произведения синусов и косинусов различных аргументов?
Примеры с решениями:
Найти J= .
Так как подынтегральная функция рациональна относительно , то воспользуемся универсальной подстановкой.
J= = = = = = = +C.
Найти J .
Подынтегральная функция нечетна относительно . Применим подстановку t= (
J=
3
3) Найти J= .
Подынтегральная функция нечетна относительно , поэтому подстановка t= ( ).
J=
4) Найти J= .
Подынтегральная функция четна относительно поэтому подстановка .
J=
5) Найти
Подынтегральная функция четна относительно , поэтому можно использовать подстановку t=tgx. Однако удобнее воспользоваться известными формулами понижения степени
Тогда
J=
=
6)Найти J= .
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:
J=
Примеры для практических занятий:
Найти интегралы:
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответы:
;
+С;
+C
;
;
;
;
.
Примеры для самостоятельного решения:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответы:
;
;
;
;
;
;
.
Практическое занятие №16.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Контрольные вопросы.
Дайте определение интегральной суммы f(x) на [a;b].
Сформулируйте определение определенного интеграла.
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
Перечислите основные свойства определенного интеграла.
В чем состоит свойство интеграла с переменным верхним пределом?
Запишите и прочтите формулу Ньютона-Лейбница.
В чем суть метода интегрирования подстановкой?
Каким условиям должна удовлетворять (и почему?) функция x=φ(t), используемая в качестве подстановки?
Примеры с решениями.
найти производные по х от следующих функций:
Решение:
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и теоремой о производной интеграла с переменным верхним пределом, получим:
Представим заданный интеграл в виде: , где С – произвольная постоянная. Тогда:
Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интегралы:
;
;
.
Применяя подходящую подстановку, вычислить интегралы:
а)
b)
=
c) ;
d)
Примеры для практических занятий:
Вычислить интегралы:
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) ; 11) ;
12) ; 13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) .
Ответы:
4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;
; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) .
Примеры для самостоятельного решения.
19) Найти производные следующих функций:
a) ;
b) ;
c)
Вычислить интегралы:
20) ; 21) ; 22) ; 23) ;
24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ;
29) ; 30) ; 31) ; 32) ;
33) .
Ответы:
19)a) ; b) ; c) 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) 0; 26) ; 27) ;
28) ; 29) ; 30) ; 31) 32) 33)
Практическое занятие №17.
Определенный интеграл (продолжение).
Контрольные вопросы.
Записать и прочесть формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
Перечислить основные типы интегралов, вычисляемых по формуле интегрирования по частям.
Указать, какая часть подинтегральной функции принимается за U(x), а какая за dV(x).
Записать формулу интегрирования четных и нечетных функций по промежутку, симметричному относительно начала координат. Дать их геометрическую трактовку.
Указать различные варианты вычисления площадей плоских фигур в декартовых координатах.