§4.Точное определение числа действительных корней в уравнении, их отделение и оценка

Пусть многочлен (уравнение) с действительными коэффициентами

1. 

не имеет кратных корней и

Найдем производную от этого многочлена и обозначим остаток от деления f(x) на , взятый с обратным знаком, через ; остаток (с обратным знаком) от деления на обозначим через и так далее пока не получим в остатке число, которое так же берем с обратным знаком и обозначим через . В результате такой процедуры построена так называемая последовательность Штурма:

2) , , , ,…, .

Вычислим значения членов последовательности 2) на концах отрезка :

3а) , , , ,…, ;

3б) , , , ,…, .

Пусть Ф(а) есть число перемен знака в последовательности 3а), а Ф(b) - число перемен знака в последовательности 3б). Тогда согласно теореме Штурма число действительных корней многочлена на отрезке равно разности

4) Ф(а)-Ф(b).

Замечание. Выяснение вопроса – имеет ли данный многочлен кратные корни? – происходит во время построения последовательности Штурма: если последний остаток этой последовательности отличен от нуля, то кратных корней нет.

Очень просто ответить на вопрос – сколько действительных корней вообще у данного многочлена? Для этого необходимо определить число перемен знака в последовательности Штурма при Тогда разность

4а) Ф(- )-Ф(+ )

дает точное число действительных корней многочлена. Например, многочлен

имеет последовательность Штурма:

Последний остаток не равен нулю; стало быть, исходный многочлен кратных корней не имеет. Так как Ф(-)=2 (-,+,-,-), а Ф(+)=1 (+,+,+,-), то многочлен имеет один действительный корень (Ф(-)-Ф(+)=2-1=1), причем корень этот положительный, ибо Ф(0)=2 и Ф(0)-Ф(+)=2-1=1.

Пример 1. Определить число действительных корней в уравнении

Решение. Строим последовательность Штурма для данного уравнения:

х+1

делим на , умножив предварительно на три:

-

­-

• -6х - 3

С

3х+1,5

тало быть, =6х+3. Делим на , разделив предварительно на два:

х+1,5

-

-

• = =2,25.

Итак, имеем последовательность Штурма:

Так как , то исходное уравнение кратных корней не имеет. Далее, f(-)=3

(-,+,-,+); Ф(+)=0 (+,+,+,+); Ф(-)-Ф(+)=3-0=3; стало быть, уравнение имеет три действительных корня, два их которых – отрицательные (Ф(0)=1 (-,+,+);

Ф(-)-Ф(0)=3-1=2).

Ответ: .

Построим график многочлена, исследованного в примере. Так как то критическими точками будут Так как =6х+6, то sgn >0  min f(x)=f(0)=-1, sgn <0  max f(x)=

f(-2)=-8+12-1=3. Подсчитаем дополнительные точки f(-3)=-27+27-1=-1;

f(-1)=-1+3-1=1; f(1)=1+3-1=3. Из рисунка хорошо видно наличие трех корней: двух отрицательных и одного положительного. Сами корни согласно графику расположены в интервалах: (-3;-2), (-1,0), (0,1).

Аналитическая оценка расположения корней может быть проведена следующим образом. Верхняя граница положительных корней уравнения (1) удовлетворяет соотношению Лагранжа (см. формулу 3.3):

5) 0<x<1+ .

Для уравнения из вышеприведенного примера ( ) имеем: А=1, k=2, =1; и верхняя граница положительного корня определяется числом, равным 2 (0<x<1+ ).

Если известна верхняя граница положительных корней, то этого достаточно для определения нижней границы положительных корней, а так же нижней и верхней границ отрицательных корней. Пусть f(x) есть многочлен степени «n» с верхней границей положительных корней, равной . Рассмотрим многочлены:

6. 

где суть соответственно верхние границы положительных корней многочленов Число будет нижней границей положительных корней исходного многочлена f(x): если «» есть положительный корень f(x), то будет положительным корнем для , и из < следует > . Таким образом, все положительные корни многочлена f(x) удовлетворяют двойному неравенству :

6. <х< .

Аналогично нетрудно получить интервал, в котором располагаются все отрицательные корни многочлена f(x):

8) - <x< .

Определим нижнюю границу положительного корня в примере 1. Строим функцию Для определения используем многочлен где А=3, , k=1. Тогда <1+ =0,25. Таким образом, имеем отделение положительного корня в интервал (0,25; 2), в то время как раньше имели (0; 1); стало быть, положительный корень уравнения лежит в интервале (0,25; 1).

После отделения действительного корня приближенно можно просчитать его значение с любой заданной точностью. Существует много методов приближенного вычисления корней уравнения, но в задачу настоящего пособия это не входит. Ограничимся оценкой положительного корня в нашем примере, используя идею так называемого метода половинного деления. Так, в уравнении примера 1 ( =0) имеем отделение положительного корня в интервал (0,25; 1). f(1)=3; просчитаем ; получаем отрицательную величину ; поэтому считаем ; получаем опять отрицательную величину, равную ; далее имеем: =1,125; =0,45; =-0,003; стало быть, х0,56 с точностью не менее 1%.