2.3. Основная теорема алгебры и ее следствия

Процесс нахождения рациональных корней целочисленного многочлена (уравнения), если они, конечно, есть, связан с содержанием основной теоремы алгебры, которая утверждает, что всякий многочлен с действительными коэффициентами имеет столько корней, какова его степень; при этом корни могут быть кратными, а также комплексными.

Отметим некоторые следствия этой теоремы, используемые для получения рациональных корней целочисленных многочленов.

I-ое следствие: если комплексное число служит корнем некоторого многочлена (уравнения), то корнем для этого многочлена будет и число , комплексно сопряженное числу .

Таким образом, если многочлен имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а это, в свою очередь, дает

II-ое следствие: многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.

III-ье следствие: всякий многочлен с действительными коэффициентами представим, притом единственным образом ( с точностью до порядка сомножителей), в виде произведения своего старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующим его действительным корням , и квадратных вида: , соответствующим парам сопряженных комплексных чисел и , то есть:

(2.9) ,

где и означает кратность некоторого действительного корня . Пары комплексно сопряженных корней тоже могут быть кратными.

Определить кратность известного действительного корня можно с помощью производной от исходного многочлена, а именно: кратность корня определяется порядком производной, для которой он уже не является корнем.

Пример 2.3. Известно, что есть корень многочлена ; определить кратность этого корня.

Решение. Проверим, что есть корень исходного многочлена: ; далее: , ; ; , , следовательно, кратность корня равна 3.

Ответ: k=3.

Если известен один действительный корень некоторого многочлена, то деление на разность дает многочлен, степень которого на единицу ниже. Если же кратность корня равна ‘k’, то при делении исходного многочлена на выражение получим многочлен, степень которого на ‘k’ порядков ниже.

Упражнение 2.3. Многочлен имеет корни Установить их кратность.

2.4. Нахождение целых корней

Вспомним формулы Виета для квадратного (пусть приведенного) уравнения :

(2.10)

Эти формулы обобщаются и на уравнения более высоких степеней. Например, для кубического уравнения имеем:

(2.11)

Для дальнейшего изложения определяющим фактором служит соотношение, связывающее произведение всех корней уравнения, которое в общем виде можно записать так:

(2.12) ,

где - свободный член, - степень уравнения, а - его корни.

Из этого соотношения следует: если целое число является корнем уравнения (многочлена), то оно будет служить делителем свободного члена. Таким образом, если целочисленный многочлен обладает целыми корнями, то они будут находиться среди делителей свободного члена. Необходимо, следовательно, испытывать всевозможные делители свободного члена как положительные, так и отрицательные; если ни один из них не является корнем многочлена, то целых корней многочлен не имеет вовсе.

Испытание всех делителей свободного члена может оказаться весьма громоздким, если даже значения многочлена будут вычисляться по схеме Горнера, а не непосредственной подстановкой каждого из делителей вместо неизвестной. Однако, эту операцию испытания делителей свободного члена на предмет обнаружения целого корня исходного уравнения можно упростить. Прежде всего, заметим, что всегда являются делителями свободного члена. Вычисления и не вызывают затруднений. Если целое число является корнем для многочлена , то . При имеем , а при имеем , откуда следует, что:

(2.13) , ,

то есть и должны быть целыми числами, при некоторых значениях . Таким образом, подлежат испытанию лишь те делители свободного члена (из числа отличных от ), для которых каждое из частных ( и ) является целым числом, то есть , .

Пример 2.4. Найти целые корни многочлена .

Решение. Свободный член (-6) имеет делители: ; ; ; . ; ; пусть , тогда , ; пусть , тогда ; пусть , тогда , ; следовательно, . В самом деле, . Проверим, не является ли этот корень кратным: , ; стало быть, является простым корнем. Делим исходный многочлен на разность по схеме Горнера:

	1	-2	-1	-6
С=3	1	1	2	0

Стало быть, и .

Ответ: .

Пример 2.5. Найти целые корни многочлена .

Решение. , ; пусть , тогда , ; пусть , тогда ; стало быть, целых корней исходный многочлен не имеет.

Ответ: ø .

Упражнения 2.4. Найти целые корни многочленов:

а). ,

б). ,

в). .