§2. Рациональные корни целочисленных уравнений

Запишем уравнение n-ой степени в виде:

(2.1) ,

где x - неизвестная величина; - заданные числовые целочисленные коэффициенты; ; так называемый старший коэффициент . Левая часть уравнения есть многочлен (или полином)

n-ой степени от неизвестной ‘x’, который обозначим через , где индекс ‘n’ указывает на степень многочлена. Таким образом, имеем:

(2.2)

Ясно, что многочлен нулевой степени есть конечное число, отличное от нуля, так как .

2.1.Деление многочленов

Для двух многочленов и можно реализовать деление «уголком», то есть при имеем:

(2.3)

(2.4)

где q(x) называется неполным частным (или просто частным) от деления на , а - остаток от этого деления. Если n>m, то многочлен считается старшим по отношению к многочлену , как имеющий более высокую степень. Обозначение многочленов строчными («маленькими») буквами без указания их степени (в соотношениях (2.3) и (2.4) это q(x) и r(x)) используются зачастую там, где порядок степени многочлена не является определяющим фактором.

Если остаток от деления на равен нулю (r(x)=0), то говорят, что делится на и называют делителем многочлена ; многочлен q(x) при этом называется полным частным (или просто частным). В этом случае имеем:

(2.5)

откуда следует, что многочлен q(x) при делении «нацело» также является делителем многочлена .

Пусть даны произвольные многочлены и . Многочлен будет называться общим делителем этих многочленов, если он служит делителем для каждого из многочленов. Если есть число, отличное от нуля (многочлен нулевой степени), то тогда многочлены и называются взаимно простыми. В общем случае, многочлены и могут обладать делителями, зависящими от ‘x’.

Введем понятие о наибольшем общем делителе двух многочленов, который обозначим через НОД . Наибольшим общим делителем двух многочленов называется такой многочлен , который является общим делителем этих многочленов и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Отметим, что любой многочлен делится на многочлен нулевой степени, то есть на произвольное конечное число, отличное от нуля, так как у соответствующему этому многочлену уравнении умножение на любое конечное число, отличное от нуля, корней этого уравнения не меняет. Это обстоятельство будет использовано при упрощении процесса нахождения НОД двух многочленов.

Если многочлены разложены на линейные множители, то нахождение их НОД не представляет труда: это есть произведение их общих сомножителей. Если корни многочленов неизвестны, а потому и нет соответствующих разложений на линейные множители, то для нахождения НОД двух многочленов можно использовать алгоритм последовательного деления (так называемый алгоритм Евклида).

Замечание. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, можно, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или делитель на любое конечное, не равное нулю, число; причем, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, конечно, к искажению частного, но при этом остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как уже отмечалось выше, при нахождении НОД многочленов допускается.

Пример 2.1. Найти наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов:

,

.

Решение. Делим на , умножив предварительно на 3:

Умножаем полученный остаток на (-3) и продолжаем процесс деления.

Полученный теперь остаток разделим на 5 и назовем его первым, то есть . Делим многочлен на первый остаток:

Полученный остаток после деления на 9 назовем вторым, то есть . Делим теперь первый остаток на второй:

Так как , то будет последним остатком, на который «нацело» делится предыдущий остаток (или соответствующий многочлен). Этот остаток и будет согласно алгоритму Евклида наибольшим общим делителем многочленов и , то есть .

Ответ: .

Упражнения 2.1. Найти , если:

а). ,

;

б). ,

;

в). ,

.