- •Глава 2 определенные интегралы
- •§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Рекуррентные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Основные формулы для несобственных интегралов
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Основные формулы
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов
- •Задачи для самостоятельного решения
Признаки сходимости
Признак сравнения. Если функции f(x) и g(x) удовлетворяют на полуинтервале [a, b) неравенству 0 ≤ f(x) ≤ g(x) и интегрируемы на любом отрезке [a, η], a < η < b, то: а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ; б) из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .
Предельный признак сравнения. Если g(x) > 0 на [a, b), f и g интегрируемы на [a, η] для всех a < η < b и существует
= ,
причем 0, , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Если функция f(x) незнакопостоянна на промежутке [a, b), то кроме сходимости несобственного интеграла рассматривают еще и абсолютную сходимость интеграла.
Несобственный интеграл
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
.
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. Обратное верно не всегда. Сходящийся несобственный интеграл, расходящийся абсолютно, называется условно сходящимся.
Для исследования на сходимость интегралов от незнакопостоянных функций часто применяются признаки Абеля и Дирихле.
Признак Абеля. Пусть функции f(x) и g(x) определены на промежутке [a, b) и интегрируемы на любом отрезке [a, η] при a < η < b. Несобственный интеграл
сходится, если выполняются условия:
а) интеграл сходится;
б) функция g(x) монотонна на [a, b) и ограничена, т.е. |g(x)| ≤ M при x [a, b), где M – постоянная.
Признак Дирихле. Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a, b) и интегрируемы на [a, η] для всех η (a, b). Тогда несобственный интеграл
сходится, если выполняются условия:
а) функция F(η) = ограничена на [a, b), т.е.
| F(η)| = ≤ L,
где L – постоянная, η (a, b);
б) функция g(x) ограничена, монотонна на [a, b) и
= 0.
Замечание. Аналогично рассматривается случай, когда особой точкой является x = a. Для этого случая все признаки переформулируются с очевидными изменениями.
Рассмотрим примеры.
Исследовать на сходимость следующие интегралы.
3.6. . 3.7. . 3.8. .
3.9. . 3.10. .
Решение.
3.6. Применим признак Абеля. Интеграл сходится (см. задачу 3.1), функция g(x) = cos x на [0, π] монотонна и ограничена. По признаку Абеля интеграл сходится.
3.7. Так как
f(x) = = ≤ = g(x),
то по признаку сравнения интеграл сходится. Сходимость интеграла от g(x) = следует из задачи 3.1.
3.8. Подынтегральная функция имеет особую точку в нуле, так как не определена там. Поэтому запишем интеграл в виде суммы
= + .
Второй интеграл рассмотрен в задаче 2.19. Рассмотрим первый. Так как = 1, то, положив
f(x)=
мы получаем непрерывную на [0,1] функцию. Так как непрерывная на отрезке функция интегрируема в обычном (собственном) смысле, то первый интеграл существует и, следовательно, наш интеграл сходится.
3.9. Применим предельный признак сравнения. Рассмотрим
f(x) = и g(x) = .
Вычисляем предел
= = = = 1.
Следовательно, наш интеграл может сходиться только вместе с интегралом . Но этот интеграл расходится, значит, и наш интеграл расходится.
3.10. Применим признак Дирихле. Перепишем подынтегральную функцию в виде
и положим
f(x) = , g(x) = 1 – x.
Имеем
= = =
= = cos1 – .
Отсюда следует
≤ 2, 0 < η < 1,
и так как g(x) = 1 – x монотонна на [0,1] и = 0, то по признаку Дирихле наш интеграл сходится.