Замена переменной в определенном интеграле
Пусть на отрезке [a, b] определена интегрируемая функция f(x) и пусть функция x = (t) определена на отрезке [, ] и имеет на нем непрерывную производную (t) и значения x = (t) принадлежат отрезку [a, b], когда t пробегает отрезок [, ]. Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле
=
.
Если функция x = (t) строго возрастает, то () < (), ≤ t ≤ , если убывает, то () > (). Если x = (t) возрастает и () = a, () = b, то формула замены переменной принимает вид
= .
Если x = (t) убывает и () = b, () = a, то формула замены переменной выглядит так:
=
.
Отметим, что в отличие от неопределенных интегралов после замены переменной и вычисления интеграла возврат к старой переменной не требуется.
Вычислить следующие интегралы.
1.9.
;
1.10.
;
1.11.
;
1.12.
;
1.13.
;
1.14.
;
1.15.
;
1.16.
;
1.17.
;
1.18.
.
Решение.
1.9.
Делаем замену переменной cos
x
= t,
–sin
x
dx
= dt;
соответствует
,
соответствует t
= 0. Получаем
.
1.10. Делаем замену переменной
=
=
=
.
1.11.
=
=
=
.
1.12.
=
=
=
=
.
1.13.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
1.14.
=
=
=
=
=
=
=
.
1.15.
=
=
=
=
=
=
1.16.
=
=
=
= 
=
= –1 + 2 = 1.
1.17.
=
=
=
=
=
=
=
.
1.18.
=
=
=
.
1.19.
А. Доказать, что если f(x) – четная функция, то
=
.
Б. Доказать, что если f(x) – нечетная функция, то
= 0.
Решение.
А. Представим интеграл по отрезку [–a, a] в виде суммы интегралов
=
+
.
Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = –t. Тогда dx = –dt, x = –a соответствует t = a, x = 0 соответствует t = 0. Отсюда следует
=
+
.
Так как функция четная, то f(–t)= f(t). Поэтому
=
+
= 2
.
Б. Как и в примере А, запишем
= + .
Сделаем в первом интеграле справа замену переменной x = –t. Тогда
=
–
.
Так как функция f нечетная, то f(–t) = –f(t). Поэтому
=
=
.
Отсюда следует утверждение Б.
1.20. Вычислить интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а) f(x)
=
.
Тогда
f(–x)
=
=
= –
= – f(x).
Значит, функция f(x) – нечетная и по задаче 1.19 Б I = 0;
б) f(x) = (ex + ex) tg x, f(–x) = (e–x + ex) tg (–x) = – f(x). Согласно результатам задачи 1.19 Б I = 0;
в) f(x) = x sin x2 + 2x2 sin 2x. Оба слагаемых в этом выражении являются произведениями нечетной функции на четную, т. е. нечетными функциями. Из задачи 1.19 Б следует, что и в этом случае I = 0.
Интегрирование по частям
Пусть u и v – функции, определенные на отрезке [a, b] и имеющие на нем непрерывные производные uи v. Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле
=
–
,
где = u(b)v(b) – u(a)v(a). Формулу можно переписать в более простом виде
=
–
.
1.21. Вычислить интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Решение.
а) применяем формулу интегрирования по частям
=
=
=
= –
cos
+
=
.
б) полагаем u = arccos x. Тогда
,
v = x,
и мы получаем
=
arcos 1 –
=
=1;
в)
=
=
=
=
=
=
=
;
г)
=
–
=
=
=
=
;
д) этот интеграл,
как это часто бывает, можно вычислить
разными способами. Если сделать сначала
замену переменной
=
t,
то мы придем к интегралу
,
который после интегрирования по частям
приводит к интегралу
.
Если сразу применить формулу интегрирования по частям (u = = arcsin , v = x) то получим
=
x arcsin
–
.
Интеграл в правой
части рационализируется подстановкой
.
Мы
вычислим интеграл с помощью подстановки
arcsin
=
t.
Тогда x
= sin2
t,
d
x
= 2sin
t
cos
t
dt=
sin
2t
dt,
x
= 0 соответствует
t
= 0,
x =
1 соответствует
.
Получаем
=
.
Вычислим получившийся интеграл по частям:
=
+
=
=
.
Последний способ решения оказался более экономичным по сравнению с двумя рассмотренными выше.