![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2 определенные интегралы
- •§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Рекуррентные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Основные формулы для несобственных интегралов
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Основные формулы
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов
- •Задачи для самостоятельного решения
§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция f(x) определена для всех x а и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Если существует
,
то
этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x)
на луче [a,
b)
и обозначается
.
В этом случае говорят, что несобственный
интеграл
сходится, а функция f(x)
интегрируема в несобственном смысле
на [a,
).
Если предел при b не существует, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x), x(–, b], с нижним бесконечным пределом интегрирования:
=
.
Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f(x), x (–, ), определяется следующим образом:
=
+
,
где
c –
некоторое
число. Предполагается, что на любом
отрезке [A, B](–,
)
существует интеграл
в
собственном, обычном смысле.
Если интеграл
существует
для некоторого c(–,
),
то он существует и для любого другого
c(–,
)
и в этом случае
=
+
.
Иногда несобственный интеграл от f(x) по (–, ) определяют следующим образом:
=
.
Можно показать, что оба определения несобственного интеграла эквивалентны.
Основные формулы для несобственных интегралов
Линейность интеграла. Если несобственные интегралы
,
сходятся, то для любых чисел M и N сходится интеграл
,
причем
=
+
.
Формула Ньютона–Лейбница. Если функция f(x), a ≤ x < , непрерывна и F(x) – какая-либо ее первообразная, то
=
=
F(+)
– F(a),
где
F(+
) =
.
Формула замены
переменной.
Пусть f(x),
a
≤ x
< , –
непрерывная функция, (t),
≤ t
< , –
функция с непрерывной на интервале
производной (t),
причем
()
= a, a
<
(t) <
,
тогда
=
.
Формула
интегрирования по частям.
Если u(x)
и v(x),
a
≤ x
< ,
непрерывно дифференцируемы и
существует,
то
=
–
,
где
=
– u(a)v(a).
Перечисленные
свойства верны и для интегралов по лучу
(
или по прямой
Рассмотрим примеры.
Вычислить следующие интегралы или установить их расходимость.
2.1.
. 2.2.
. 2.3.
.
2.4.
. 2.5.
. 2.6.
.
2.7.
,
a>0. 2.8.
. 2.9.
.
Решение.
2.1.
=
=
=
.
2.2.
=
=
=
=
=
.
2.3.
=
+
.
Интеграл в левой части равенства сходится только в том случае, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хоть один интеграл расходится, то и наш интеграл расходится. Рассмотрим второй интеграл в сумме:
=
=
=–-
=.
Следовательно, наш интеграл расходится.
2.4.
=
=2
=
=
=
.
2.5.
=
=
не существует. Значит, интеграл расходится.
2.6.
=
=
ln1 –
= – .
2.7. Пусть p = 1. Тогда
=
=
.
Пусть теперь p 1. Тогда
=
=
.
Если p
< 1, то
=
и, следовательно, интеграл расходится.
Если p
> 1, то
и в этом случае
=
.
Таким образом, интеграл , a > 0, сходится тогда и только тогда, когда p > 1.
2.8.
=
=
=
=
,
p > 1.
Интеграл сходится (см. задачу 2.7) только при p > 1.
2.9. Применяем формулу интегрирования по частям:
=
=
+
=
=
–
=
.
Признаки сходимости
Признак сравнения.
Пусть функции f(x)
и g(x)
определены на луче [a,
),
неотрицательны и интегрируемы в
собственном смысле на любом отрезке
[a,
b],
b
>
a,
и пусть f(x)
≤ g(x)
для всех x [a,
).
Тогда, если
сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
.
Если расходится интеграл
,
то расходится и интеграл
.
Предельный
признак сравнения.
Пусть f(x) 0,
g(x)
0
при a
≤ x
<
и функции f
и g
интегрируемы на отрезке [a,
b]
при любом b
> a.
Тогда, если существует предел
,
причем 0,
,
то интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
Для функций, не сохраняющих знак на луче [a, b), признаки сравнения неприменимы. Для таких функций f можно попробовать получить оценку
| f(x)| ≤ g(x).
Если интеграл
сходится,
то будет сходиться и интеграл
.
Интеграл
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
.
Можно доказать, что если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Таким образом, если удается подобрать интегрируемую (в несобственном смысле) функцию g(x) такую, что |f(x)| ≤ ≤ g(x), то интеграл от f(x) будет сходящимся. Подобрать такую функцию можно не всегда, так как из сходимости интеграла не вытекает его абсолютная сходимость.
Интеграл
называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл
расходится.
Укажем два признака сходимости, применимых для незнакопостоянных функций.
Признак Дирихле. Интеграл
сходится, если выполняются два условия:
а) функция f(x) непрерывна и функция
F(b) =
ограничена при b[a, ), т. е. существует постоянная M > 0 такая, что неравенство
F(b)|
=
≤ M
|выполняется для всех b > a;
б) функция g(x) монотонна и
.
Признак Абеля. Интеграл
сходится, если:
а) интеграл
сходится;
б) функция g(x) монотонна и ограничена: | g(x)| ≤ L, L = const, a ≤ x < .
Замечание. Признаки сравнения, Дирихле, Абеля верны и для интегралов по лучу (–, b]. Формулировки признаков повторяются практически дословно, с заменой луча [a, ) на луч (–, b]. Исследование интеграла по всей оси сводится к исследованию интегралов по лучам
=
+
.
Чаще всего берут c = 0.
Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость следующие интегралы.
2.10.
.
2.11.
. 2.12.
.
2.13.
. 2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
.
2.18.
.
Решение.
2.10. Так как
,
и интеграл
сходится
(см. задачу 2.7), то по признаку сравнения
сходится и наш интеграл.
2.11.
Поскольку неравенство
≤
выполняется при всех x
и интеграл
=
сходится, то по признаку сравнения
сходится и наш интеграл.
2.12. Представим наш интеграл в виде суммы
=
+
.
Второй интеграл
сходится в обычном (собственном) смысле,
так как функция f(x)
=
непрерывна
на отрезке [–1, 0]. Таким образом, необходимо
исследовать на сходимость первый
интеграл в сумме.
Так как при больших x
f(x)
=
=
,
то возьмем для
сравнения функцию g(x)
=
и используем предельный признак
сравнения. Имеем
=
=
=
= 1.
Так как сходится (задача 2.7), то и наш интеграл сходится согласно предельному признаку сравнения.
2.13. В данном случае можно использовать как предельный признак сравнения, так и признак сравнения. Действительно,
f(x)
=
≤
=
=
g(x).
Интеграл
сходится (задача 2.7), следовательно,
сходится и наш интеграл.
2.14. Используем предельный признак сходимости:
f(x)
=
=
=
,
x (–,
–2).
Возьмем для
сравнения функцию g(x)
=
> 0. Вычислим предел.
=
=
=
=1.
Следовательно, наш интеграл согласно предельному признаку сравнения сходится.
2.15.
Сделаем замену переменной x
=
,
dx
=
,
0
,
0. Тогда
=
=
.
Так как
| f(t)|
=
≤
= g(t),
а интеграл
сходится (он равен
),
то интеграл
,
(а значит, и наш), сходится абсолютно,
следовательно, сходится.
2.16. Поскольку при x 1
f(x)=
,
а интеграл
=
расходится
(задача 2.7), то и наш интеграл, согласно
признаку сравнения, расходится.
2.17. Имеем при больших x
f(x)
=
=
.
Возьмем для
сравнения функцию g(x)
=
и применим предельный признак сравнения
=
=
=
=
=
=
2.
Так как 2 0 и 2 , то, согласно задаче 2.7 и предельному признаку сравнения, наш интеграл сходится.
2.18. Применим к интегралу формулу интегрирования по частям:
=
=
+
=
=
+
.
Поскольку
≤
,
то интеграл в правой части сходится абсолютно. Следовательно, сходится интеграл в левой части. Отметим, как можно показать, что интеграл в левой части сходится условно (см. ниже решение задачи 2.19).
2.19. Доказать, что интеграл
сходится условно.
Решение. Преобразуем интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:
=
=
–
=
= cos1
–
.
Интеграл в правой части сходится абсолютно (см. решение задачи 2.18). Следовательно, наш интеграл сходится. Покажем, что не абсолютно.
Так как |sin x| ≤ 1, то sin2x = |sin x|2 ≤ |sin x|. Следовательно, при x 1 выполняется условие
≤
≤
.
Нам достаточно ввиду признака сравнения показать, что интеграл
расходится. Имеем
=
.
Интеграл сходится (задача 2.18). Если сходится, то будет сходиться и интеграл
+
=
,
что, как мы знаем (задача 2.7), невозможно. Значит, наш интеграл сходится условно.
Исследовать на сходимость следующие интегралы.
2.20.
. 2.21.
.
2.22.
. 2.23.
.
Решение.
2.20. Применим признак Дирихле. Имеем
=
=
≤ 2,
функция g(x)
=
монотонна на [1, )
(убывает) и
=
0. По признаку Дирихле интеграл сходится.
2.21. Так как
=
≤
1,
и g(x)
= e–x
монотонно убывает на [0, )
и
=
0, то по признаку Дирихле интеграл
сходится.
2.22. Применим признак Абеля. Так как интеграл
сходится (задача 2.19.), а функция g(x) = e1–x монотонна на [1, ) (возрастает) и ограничена: 0 ≤ g(x) ≤ 1, то по признаку Абеля интеграл сходится.
2.23. Сделаем сначала замену переменной
=
=
=
.
Применяя признак Дирихле (см. решение задачи 2.20), убеждаемся, что интеграл сходится.