![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Матрицы
- •Направленные отрезки
- •Определение множества векторов
- •1. Коммутативности
- •2. Ассоциативности
- •3. Дистрибутивности
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Действия с векторами в координатном представлении
- •(Сравнение векторов). Два вектора
- •(Сложение векторов). Координатное представление суммы двух векторов
- •(Умножение векторов на число). Координатное представление произведения вектора
- •Декартова система координат
- •1.8 Изменение координат при замене базиса и смещения начала координат
- •Ортогональные проекции
- •2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •2.3. Выражение скалярного произведения в координатах
- •2.4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •2.5. Выражение векторного произведения в координатах
- •2.6. Смешанное произведение
- •2.7. Выражение смешанного произведения в координатах
- •2.8. Двойное векторное произведение
2.7. Выражение смешанного произведения в координатах
Пусть
задан правый
базис
и три вектора
,
и
координатные разложения которых в этом
базисе имеют вид
,
и
По свойствам векторного произведения имеем
где
векторы
были определены в 2.5.
Из этого определения вытекает, что
поэтому
для
получим
поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1)
Замечания. 1. Из последней формулы и теоремы 2.1 следует справедливость теоремы 1.11.
2.
В случае ортонормированного
правого
базиса
,
поэтому в таком базисе
3.
Для введенных в 2.5 векторов
справедлива теорема
Теорема
2.2
Тройка векторов
образует базис, называемый взаимным
базису
.
Доказательство.
Для
доказательства достаточно показать,
что векторы
линейно независимы.
Пусть
существуют числа
,
такие, что
.
Умножив
последовательно обе части этого равенства
скалярно на
,
получим
(2.1)
Для
девяти выражений
имеем
,
где
.
Действительно, выражения
суть
смешанные произведения некомпланарных
векторов
и потому отличны от нуля. Остальные
шесть выражений
будут равны нулю как смешанные произведения
векторов, среди которых имеется пара
равных.
Подставляя
значения выражений в систему равенств
(2.1), получим, что все
,
,
что доказывает линейную независимость
векторов
.
Теорема доказана.
2.8. Двойное векторное произведение
Определение
2.8 Двойным векторным произведением
векторов
,
и
называется вектор
.
Теорема 2.3 Имеет место равенство
Доказательство.
Заметим, что, если
векторы
попарно ортогональны, то доказываемое
равенство очевидно, поэтому далее будем
предполагать, что числа
и
не равны нулю одновременно.
Обозначим
По определению векторного произведения
вектор
ортогонален как вектору
,
так и
1. По свойствам
смешанного произведения условие
означает, что тройка векторов
компланарная и, в силу леммы 1.,
где
и
некоторые числа.
2. Из условия
следует, что
или
3. Рассмотрим теперь
вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
а) (также как и вектор ) принадлежит плоскости, проходящей через векторы и ;
б)
и
(см. рис. 2.4).
Рис. 2.4
и
получим выражение для смешанного
произведения вида
С одной стороны, по свойствам смешанного
произведения и в силу
,
имеем
С
другой стороны, вектор
сонаправлен с
,
то есть
такое, что
.
Поэтому
.
Найдем значение из соотношений
поскольку угол между и прямой. Значит
Приравнивая
выражения для
,
получаем
или
Наконец,
из соотношения, полученного в п.2, находим,
что
Теорема доказана.