2. Направленные отрезки

Определение 1.11 Отрезок прямой, концами которого служат точки A и B, называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая – концом отрезка.

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком.

Направленный отрезок будем обозначать полагая, что точка A является началом отрезка, а точка B – его концом. Иногда направленный отрезок обозначается просто как . Длина отрезка обозначается как или соответственно.

Действия с направленными отрезками

Определение 1.12. Два ненулевых направленных отрезка и при называются равными, если их начала, и их концы могут быть совмещены одним параллельным переносом.

Замечание. В силу определения 1.12 параллельный перенос направленных отрезков не меняет.

Пусть даны два направленных отрезка и .

Определение 1.13. Совместим начало отрезка с концом , тогда направленный отрезок , начало которого совпадает с началом и конец с концом , называется суммой направленных отрезков и .

Это определение иногда называют правилом треугольника (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Замечание. Обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей, смысл которого ясен из рис.1.3.

Рис. 1.3

Замечание. Операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма, равносильному определению 1.13 (см. рис. 1.4).

+

Рис. 1.4

_{Определение 1.1}4. Разностью направленных отрезков и называется направленный отрезок , удовлетворяющий равенству

Определение 1.15. Любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.

Определение 1.16. Под произведением направленного отрезка на число понимают:

• при -- нулевой направленный отрезок,

• при -- направленный отрезок, для которого длина равна ;

- направление совпадает с направлением , если ,

- направление противоположно направлению , если .

3. Определение множества векторов

Определение 1.17. Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены описанные в 1.2 операции:

- сравнения (определение 1.12);

- сложения (определение 1.13);

- умножения на вещественное число (определение 1.16),

называется множеством векторов.

Конкретный элемент этого множества будем называть вектором и обозначать символом с верхней стрелкой, например .

Нулевой вектор обозначается символом .

Теорема 1.3. Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами: