Фрактальна розмірність

У процесі дослідження фрактального ринку використовуються нові методи дослідження ринку капіталів засновані на нелінійності динамічних систем. Ознайомимося з двома методами: фрактальної розмірністю й обчисленням показника Херста.

Е. Петерс наводить приклад, який розкриває переваги показника фрактальної розмірності порівняно зі стандартним відхиленням при побудові моделей прибутку за двома акціями.

Таблиця 14.1

Стандартне відхилення порівняно з фрактальною розмірністю2

Спостереження	S1	S2
1	+2	+1
2	–1	+2
3	–2	+3
4	+2	+4
5	–1	+5
6	+2	+6
Накопичений прибуток	+1,93	+22,83
Стандартне відхилення	1,70	1,71
Фрактальна розмірність	1,41	1,13

Статистичний ряд за акцією S₁ не має визначеного тренду за накопиченого прибутку +1,93, тоді як за акцією S₂ ряд розподілений ненормально з вираженим трендом за накопиченого прибутку +22,83. Проте стандартні відхилення майже однакові: 1,70 — за S₁ і 1,71 — за S₂. Отже, дві акції з фактично однаковими показниками волатильності мають різні характеристики прибутків за акціями. Едгар Петерс робить висновок, що використання показника стандартного відхилення для порівняння ризиків некоректне. Кращим показником є фрактальна розмірність, на підставі якої можна скласти інше уявлення про акції.

Наведемо формулу фрактальної розмірності:

,

де N — число самоподібних частин, які виникають у разі збільшення лінійних розмірів вихідної фігури в r разів¹.

Фрактальна розмірність за акцією S₁ становить 1,41, за акцією S₂ — 1,13. Показники за акцією S₁ за п’ять років змінювалися нерівномірно, тоді як за акцією S₂ спостерігається стійкий розвиток, тобто ряд S₁ “явно зазубрений порівняно з S₂ і його фрактальна розмірність якісно відмінна”².

Показник Херста

Показник Херста — Н — міра зсуву в частково броунівському русі. Показник Н використовується для вимірювання впливу інформації на тимчасовий ряд даних. Н, що дорівнює 0,5, підтверджує гіпотезу ефективного ринку: “ринок не має пам’яті”. Учорашні ціни не впливають на сьогоднішні, а сьогоднішні не можуть уплинути на формування цін у майбутньому. Якщо показник Н перевищує 0,5, то це означає, що вчорашня інформація продовжує впливати на формування цін сьогодні. Едгар Петерс називає це явище “функцією довгострокової пам’яті, що обумовлює інформаційний вплив протягом великих періодів часу і виявляється стосовно будь-якого тимчасового масштабу”³. Отже, у разі збільшення показника Н понад 0,5 аргументи авторів гіпотези ефективного ринку спростовуються.

Період впливу визначається довжиною циклу. Відповідно до термінів, прийнятих у статистиці, — це час декореляції ряду. Для щомісячних даних індексу Стендарт енд Пур 500 довжина циклу становить у середньому 48 місяців⁴. Це означає, що в термінах нелінійної динаміки протягом 48 місяців використовується інформація про попередній стан ринку. Особливе значення надається рішенням, які приймають менеджери, тобто “людському фактору”.

На думку авторів нової парадигми, гіпотеза ефективного ринку спрощує модель, крім впливу часу на прийняття рішень. З її можна вивести тільки єдине рішення: досягти “оптимізації портфеля” або визначити “справедливу ціну”. Тим часом, єдина “справедлива ціна” припускає “раціонального інвестора”. Прагматично можна створити таку модель, проте насправді усі інвестори різні — зі своїми навичками, сумнівами, швидкістю реакції, відданістю справі, забобонами. У складні періоди різкого падіння цін інвестори, як і ринок у цілому, поводяться ірраціонально, з’являється так звана “стадна поведінка”.

Французький дослідник Гастон Дефоссе відзначає, що гравці на біржі часто перебільшують інформацію про наслідки очікуваних подій. Багато хто слідують моді, наприклад, виявляють цікавість до цінних паперів нафтових компаній або до паперів золотих копалень. Укладаючи угоду з купівлі-продажу, обидві сторони далеко не завжди вивчають стан ринку і рух валютного курсу. Учасники ринку можуть, наприклад, купувати акцію за номером, що дістався під час гри в рулетку, або згідно зі своїм власним настроєм, або після ознайомлення зі своїм гороскопом¹.

Отже, поведінка учасників торгів залежить від безлічі факторів, які часто один від одного не залежать і які важко і зрозуміти, і передбачити.