10. Определение напряжений по наклонным площадкам при осевом растяжении-сжатии (линейное напряженное состояние)

Д ля полного суждения о прочности бруса необходимо не только уметь определять величину нормальных напряжений, возникающих в сечении, перпендикулярном к оси Z, но и напряжения, возникающие по любому наклонному сечению.

Угол α положительный, если он направлен против часовой стрелки от силы до нормали.

Для определения напряжений, возникающих в наклонном сечении АС, воспользуемся методом сечений.

Как видно из (1) величина искомых напряжений на наклонной АС определяется ориентацией площадки, при этом можно выделить следующие частные случаи:

1. α =0 :

2. α=90 :

3. α=45 :

Пара напряжений на площадке AD  КС:

Сопоставляя (1) и (2), получаем

1) (3) – закон суммы нормальных напряжений

Сумма нормальных напряжений, возникающих по двум перпендикулярным площадкам, равна главному напряжению и является величиной постоянной.

2) (4) – закон парности касательных напряжений.

Касательные напряжения, возникающие по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по направлению.

13 определение деформации при плоском напряженном состоянии,

При рассмотрении данной задачи также используют принцип независимости сил. При этом плоско напряженное состояние рассматриваются как сумму 2-х линейных.

П ри рассмотрении линейного напряженного состояния в соответствии с законом Гука величина продольной деформации равна , где Е-модуль продольной упругости, а связь м/д относительной деформацией (эпсилон') и продольной (эпсилон) устанавливается законом Пуассона , где ню – коэффициент поперечной деформации(коэффициент Пуассона)

Выражение(1)-закон Гука для плоско напряженного состояния определяя деформация (эпсилон1) и (эпсилон2) через главные напряжения (сигма1) и (сигма2); можно решить обратную задачу; определить величину главного напряжения через деф. Найдем напряжения опытным путем.

=

=

=

Закон Гука для плоско напряженного состояния.

Билет № 11 Определение напряжений при плоском напряженном состоянии.

Для решения данной задачи целесообразно использовать принцип суперпозиции полей или принцип независимости действия сил, согласно которому плоско напряженное состояние будет рассматриваться, как сумма 2-х линейных.

Пусть на грани элемента, в окрестности изучаемой точки, действует главные напряжения , . Требуется определить, как будут возникать напряжения по 2-ум наклонным взаимно перпендикулярным плоскостям. При этом искомые напряжения определяются...

, Нормальные и касательные напряжения под действием получаем

, Нормальные и касательные напряжения в рассматриваемой площадке под действием сигма2, при этом угол от направления действия до нормали будет =-(90- ), тогда

Тогда величина полного нормального и касательного напряжения будет равно

Рассматривая аналогичным образом можно определить и 2-ую пару напряжений возникающих по площадке перпендикулярной к рассматриваемой с нормалью n_β

Сопоставив эти уравнения видно, что как и при линейном , при плоском напряженном состоянии соблюдается: как закон суммы нормальных напряжений, так и парные касательные напряжения

Таким образом одно и тоже напряженное состояние рассматривать можно представить через главные напряжения или через касательное и нормальное напряжение возникающее в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Билет № 12 Графическое определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии.

В теории наряженного состояния различают 2 основные задачи.

1)Первая задача: известно положение главной площадки и действующей по ним главным напряжениям, требуется найти нормальной и касательное напряжение возникающее по 2-ум взаимно перпендикулярных площадках при заданном угле их наклона.

2)Обратная задача. известно нормальное и касательное напряжение возникающее по 2-ум взаимно перпендикулярном площадкам, требуется найти величину главных напряжений и их направляющих.

Немецкий ученый в области теории и сооружения Отто Мор: решать эти задачи графическим способом.

Приведем последовательность графического определения напряжения.

По оси абсцисс будем откладывать с соответствующем знаком нормальное напряжение σ по оси ординат, касательное напряжение.

ОВ- σ₁, ОА= σ₂

Рассматриваем АВ как диаметр круга, описываем из его центра окружностью которая называется кругом напряженности или кругом Мора.

ИЗ точки А проводим нормаль n_α под заданным углом α. Покажем, что точка пересечения этого луча с окружностью, обозначим её точку Д_α , и даст величину искомых напряжений. Т.Е. отрезок

Д_αК_α=τ_α, ОК_α=σ_α, R=

Д_αК_α= R = τ_α

ОК_α=ОА+АС+СК_α=(производя преобразования получаем)=

Т.о. каждая точка круга напряжений характеризует напряженное состояние, возникающее по площадкам любой ориентации. При этом характерные точки будут

Т.В(σ = σ₁, τ = τ₁).

Т.А (σ = σ₂, τ = τ₂) – полюс круга напряжения.

Т.Е. (σ= , τ-τ_max= )- касательное напряжение max при угле 45^о

Вторую пару искомых напряжений получаем, продолжая направление с Д_α до пресечения с кругом напряжений, т.е.точки, соответствующие 2-м взаимно перпендикулярным площадкам, лежат на противоположных концах одного диаметра.

Из графического построения видно, что соблюдаются обе закономерности: и закон суммы нормальных напряжений σ_α + σ_β = σ₁ + σ₂ = constant и закон парности касательных напряжений .

Линейное напряженное состояние рассматриваем, как частный случай плоского. При этом одно из главных напряжений σ₂=0. Поэтому последовательность определения четырёх напряжений будет аналогично рассматриваемой с той лишь разницей, что полюс круга напряжений будет проходить через начало координат.

Билет №14 классические теории (гипотезы) прочночсти.

Важнейшей практической задачей в инженерных расчетах является оценка прочности конструкции по известным напряженному состоянию. Эта задача решается с использованием одной из 4-х задач классических теорий (гипотез) прочности по следующей схеме.

Где [n]нормальный коэффициент запаса прочности.

1)Теория наибольших нормальных напряжений: Галилей; начало 18 века.: σ_экв.=σ_1: линейное напряженное состояние

2)Наибольших линейных деформаций; Эдлен Мариотас.1682 г.; σ_экв σ₁ – (σ₂ – σ₃) хрупкие материалы.

3)Наибольшие касательные напряжения; Шарль Кулон, 1773 г.: σ_{экв =} σ_{1 -} σ₃ пластичные материалы в плоско напряженном состоянии.

4)Энергетическая М. Рубер. 1904 г.: σ_экв= пластичные материалы находящие в объемном состоянии.