![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие функции. Ограниченные функции
- •2. Функции нечетные, четные, монотонные
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры
- •5) Словесным описанием.
- •6) Табличным способом.
- •4. Предел числовой последовательности
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Расходящиеся последовательности:
- •6. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞-∞
- •7.( В конспекте)
- •8. Понятие предела функции
- •9. Вычисление пределов
- •10. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы
- •11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы
- •12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •13. Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые
- •14. Односторонние пределы
- •15. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •16. Классификация точек разрыва
- •17. Свойства непрерывных функций
- •18. // В конспекте
- •19. Производная функции в точке
- •20. Правила дифференцирования
- •25. Производная сложной функции
- •26. Производная обратной функции
- •28. Производная функции, заданной неявно и параметрически
- •29. Дифференциал функции, инвариантность формы 1-го дифференциала
- •30. Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница
- •31. Дифференциалы высших порядков
- •32. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали
- •33. Теорема Ролля
- •34. Теорема Лагранжа
- •36. Экстремум функции одной переменной. Необходимое условие экстремума
- •37. Достаточные условия экстремума
- •38. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39. Достаточные условия перегиба
- •40. Асимптоты графика функции
- •41. Правило Лопиталя
- •42. Формула Тейлора для функции
- •43. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •44. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
- •45. Векторы, линейные операции над векторами
- •46. Координаты вектора
- •47. Определители 2-го, 3-го порядков и их вычисление
- •48. Свойства определителя
- •49. Теорема о разложении определителя
- •50. Линейная зависимость векторов
- •51. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •52. Векторное произведение векторов и его свойства
- •53. Смешанное произведение векторов и его свойства
- •54. Уравнение плоскости в пространстве
- •55. Уравнение прямой на плоскости
- •56. Уравнение прямой в пространстве
- •56. Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •58. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола
- •59. Поверхности второго порядка
- •60. Матрицы и действия над ними
- •61. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •62. Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы
- •63. Вычисление обратной матрицы
- •64. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы
- •65. Теорема Кронекера
26. Производная обратной функции
Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула
(f-1(y))' = 1/f'(x).
Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).
Пусть y 0 приращение для y, а x - соответствующее приращение обратной функции x = f-1(y). Тогда справедливо равенство
x/ y = 1/( y/ x).
Переходя к пределу в последнем равенстве при y 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции x 0, получим
lim y 0 x/ y = 1/ (lim x 0 y/ x).
То есть, x'(y) = 1/y'(x).
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона /2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tg = 1/tg .
Пример 6. Найти x'y, если y = 2x3+3x5+x Имеем y' = 6x2+15x4+1, тогда x'y = 1/y'x = 1/(6x2+15x4+1).
28. Производная функции, заданной неявно и параметрически
Пусть x = (t),y = (t), t [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, t [0,2]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.
В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = '(t)dt, dx = '(t)dt. Поэтому
y'(x) = '(t)/'(t).
Используя формулу для второго дифференциала, получим
y(2)(x) = d(y'(x))/dx = ( '(t)/ '(t))'dt/ '(t)dt =
= ( ''(t) '(t)- ''(t) '(t))/( '(t))3.
Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде
y'''(x) = d(y''(x))/dx.
Пример 10. Функция задана параметрически
x = a(t-sin t), y = a(1-cos t).
Наити y''(x).
y't = asin t, x't = a(1-cos t).
Отсюда
y'(x) = (asin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t 2 k.
y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin4t/2.
Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.
Пример 11. Найти y''(x), если :
x+y = ex-y.
Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.
1+y'x(x) = ex-y(1-y'x(x)),откуда y'x = (ex-y-1)/(1+ex-y).
Дифференцируя уравнение еще раз, получим
y''x(x) = ex-y(1-y'x(x))2-ex-yy''x(x),
следовательно,
y''x(x) = (1-y'x)2ex-y/(1+ex-y) = 4ex-y/(1+ex-y)3.