18. // В конспекте

19. Производная функции в точке

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+ t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+ u = u(t₀+ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z =  u/ t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{ t 0} u/ t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{ x 0} y/ x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

 y = sin(x+ x)-sin x = 2sin( x/2) cos (x+ x/2).

По определению производной

(sin x)' = lim_{ x 0} y/ x = lim_{ x 0}(cos (x+ x/2)(sin  x/2)/( x/2)) = =cos x,

так как

lim_{ x 0}cos (x+ x/2) = cos x.

Таким образом,

(sin x)' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{ x 0 + 0} y/ x

lim_{ x 0 - 0} y/ x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим  y = 3(0+ x)+1-1=3 x при  x>0. При  x<0  y = -3(0+ x)+1-1=-3 x, значит,

lim_{ x 0-0} y/ x =-3, lim_{ x 0+0} y/ x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.

20. Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

(u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)

при условии, что v(x) 0.

25. Производная сложной функции

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f((t)))' = f'(x)'(t).

(3)

Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение  t. Этому приращению отвечает приращение  x =  (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению  x отвечает приращение  y = f(x+  x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение  y представимо в виде (1):

 y =f'(x) x + ( x)  x,

где lim_{ x 0} ( x ) = 0. Поделив данное выражение на  t  0, будем иметь:

 y/ t=f'(x) x/ t+  ( x) x/ t.

Из дифференцируемости функции x =  (t) в точке t вытекает, что

lim_{ t 0} x/ t = '(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что  x 0 при  t 0. Следовательно, lim_{ t 0} ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^{cos x}(-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5.