9. Вычисление пределов

Если функции и имеют пределы в точке , то справедливы формулы:

, где С=const; (3)

(4)

(5)

. (6)

Если непосредственное вычисление предела по формулам (1) – (4) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

, (7)

которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.

10. Первый замечательный предел и связанные с ним пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

(8)

Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:

(9)

Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Следствия: аналогично tgx, arcsinx, arctgx

11. Второй замечательный предел и связанные с ним пределы

Второй замечательный предел:

(10)

или

(11)

Если при , то обобщением формулы (3) является:

(12)

Если , то обобщением формулы (4) является:

(13)

Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если

Функция называется бесконечно большой при , если для всякой последовательности , при , ( или ) последовательность соответствующих значений функции является бесконечно большой.

Обозначают .

Если -- бесконечно большая функция при , то она не имеет предела (предел – это число!), запись (6) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции

13. Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые

Две функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если

,

это записывают при .

При вычислении пределов функций в точке и на бесконечности удобно пользоваться следующей теоремой:

Если , и - некоторые функции, определенные в

окрестности точки (на числовой полуоси) и при

, то

. (16)

Формула (16) показывает, что в произведении можно заменять функцию – сомножитель на эквивалентную ей – более простую для вычисления предела.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть , если . Тогда справедливы следующие эквивалентности:

; (17)

; (18)

; (19)

; (20)

; (21)

(22)

(23)

(24)