2.3 Задача 3 – Задача об ассортименте выпускаемой продукции

Задача состоит в определении наиболее оптимального выпуска каждого вида продукции (х₁, х₂, х₃) и максимизирующего общую сумму прибыли.

Виды используемого сырья	Виды продуктов			Общий запас сырья
	В1	В2	В3
А1	8	9	10	400
А2	9	6	6	350
А3	7	11	8	280
Уровень прибыли за единицу продукции, р.	65	70	68

Составим неравенства:

Общая сумма прибыли:

F =65 х₁ + 70 х₂ + 68 х₃ = max.

В неравенствах коэффициенты при неизвестных означают удельные нормы расхода основных видов сырья, т. е. а_{i j} а постоянные величины правых частей неравенств - общие запасы сырья, т. е. bi. Коэффициенты в уравнении целевой функции означают уровни прибыли на 1 т выпускаемой продукции, т. е. c_j.

Чтобы решить задачу симплексным методом, необходимо исходные неравенства преобразовать в систему эквивалентных равенств. Все неравенства предусматривают ограничения по запасам сырья, означающие, что сырья должно быть израсходовано не более чем имеется в наличии. Такие ограничения называются ограничениями сверху.

Дополнительные неизвестные рассматриваются как фиктивные продукты, имеющие нулевые уровни прибыли, и обозначаются неизвестным х с соответствующими подстрочными индексами х₄, х₅, х₆.

Система симплексных уравнений примет следующий вид:

Целевая функция

F =65 х₁ + 70 х₂ + 68 х₃ + 0 х₄ + 0 х₅ + 0 х₆ → max.

Полученные уравнения называются симплексными. Они выражают условия и цель решения задачи.

При решении задач симплексным методом результаты расчетов записываются в так называемую симплексную таблицу, которая состоит из четырех основных частей: верхушки, корпуса, основания и целевой строки:

Симплексная таблица и порядок ее заполнения. При реше­нии задач симплексным методом результаты расчетов записы­ваются в так называемую симплексную таблицу, которая со­стоит из четырех основных частей: верхушки, корпуса, осно­вания и целевой строки (табл. 3.1).

В верхушке таблицы записываются, коэффициенты при не­известных в уравнении целевой функции (уровни прибыли) и соответствующие им неизвестные, которые обозначают номера столбцов. Коэффициенты при неизвестных в уравнении целе­вой функции записываются только в исходной таблице, в по­следующих таблицах они могут быть опущены. Корпус таб­лицы состоит из строк, в которых записываются постоянные величины уравнений и коэффициенты при неизвестных. Число строк в корпусе таблицы соответствует числу ограничений (в нашем случае их будет 3).

Основание таблицы имеет два столбца. Первый из них от­водится под показатели критерия оптимальности (коэффициен­тов при неизвестных в уравнении целевой функции), второй — под запись соответствующих им неизвестных. В первой по счету таблице в этих столбцах записываются дополнительные неиз­вестные с соответствующими им нулевыми уровнями прибыли. В последующих таблицах в этих столбцах будут записываться неизвестные с соответствующими показателями критерия оптимальности, (уровнями прибыли), вводимые в программу вы­пуска.

Целевая строка показывает, какой вид продукции надо включить в план, а также позволяет видеть, достигнуто ли оп­тимальное решение, а если нет, то каким образом его можно получить.

После преобразования исходных ограничительных нера­венств в симплексных уравнениях и построения симплексной таблицы все коэффициенты при неизвестных и постоянные величины в таблице размещаются в таком же порядке, в каком они записаны в системе уравнений.

cj	pk	x0	Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции (уровни прибыли) ______________________ Неизвестные-номера столбцов	1. Верхушка таблицы
Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции	Номера неизвест- ных, вхо- дящих в программу	Столбец постоянных величин (левая часть равенств)	Коэффициенты при неизвестных в равенствах	2 Корпус таблицы
zi-cj 3. Основание таблицы		Значение целевой функции	4. Целевая строка

В столбце р₀ (подстрочный индекс показывает, что это исходная таблица) записываются дополнительные неизвестные х₄, х₅ , х₆ , а в столбце c_j — соот­ветствующие им коэффициенты в уравнении целевой функции, равные нулю. Это означает, что на данном этапе решения за­дачи в программу включен выпуск только фиктивных про­дуктов.

Столбец х₀ называется итоговым. В нем записываются сво­бодные величины, значения которых в симплексных таблицах изменяются в процессе вычислений. Показатели столбца ука­зывают количество фиктивных продуктов, которое может быть выпущено при реализации плана.

При введении в программу выпуска реальных видов про­дуктов показатели столбца , x₀ отражают количество продукции, включенное в план выпуска.

Целевая строка заполняется данными, получаемыми расчет­ным путем. При расчете коэффициенты при неизвестных каж­дого столбца умножаются на соответствующие величины столбца gj (уровни прибыли) и полученные произведения сум­мируются. Из полученной по столбцу суммы вычитается уро­вень прибыли этого столбца, записанной в верхушке таблицы.

Если сумму произведений коэффициентов при неизвестных a_{i j} (нормы расхода) на величины столбца с_j (уровни прибыли) обозначить через zj, тогда величина, записываемая в целевой строке по j-му столбцу, будет равна разности z_j - c_j. Это вы­ражение записывается в целевой строке.

Подготовка элементов таблицы к преобразованию. Исход­ная таблица является некоторым вариантом плана, в котором предусмотрен выпуск фиктивных продуктов, обеспечивающий нулевую прибыль. Возникает вопрос, нельзя ли получить более выгодный план, заменив выпуск фиктивных продуктов выпус­ком реальных продуктов.

Наличие в целевой строке отрицательных чисел свидетель­ствует о том, что улучшение плана возможно.

С выбора продукта, который должен быть включён в программу выпуска, начинается решение всех задач симплексным методом. Для включения в план всегда выбирается тот про­дукт, который имеет наибольшую абсолютную величину при­были. Для включения в программу выбирают продукт, имею­щий наибольшую прибыль. Столбец, в котором эта прибыль находится, выделяют. Выделенный в таблице столбец с наибольшей прибылью называется ключевым.

Элементы столбца х₀ делятся на соответствующие коэффици­енты ключевого столбца. Полученные от деления результаты сопоставляются между собой и выбирается наименьший из них. Строка, имеющая наименьший результат от деления, прини­мается за ключевую. Ключевая строка так же, как и ключевой столбец, выделяется.

Элемент (коэффициент), находящийся на пересечении клю­чевого столбца и ключевой строки, называется ключевым. У нас ключевым элементом является коэффициент 0,3.

Преобразование элементов симплексной таблицы. После определения ключевых столбца и строки показатели плана по симплексному алгоритму преобразуются в новый вариант плана, для которого строится новая симплексная таблица.

В новую таблицу из предыдущей первоначально записы­вается ключевая строка. Она занимает то же самое место, но ее показатели должны быть преобразованы. Показатели ключевой строки преобразуются путем деления каждого ее эле­мента на ключевой элемент.

Последовательность преобразования элементов итогового столбца. Элемент итогового столбца, находящийся в ключевой строке, умножается на элемент соответствующей строки, находящийся в ключевом столбце, и полученное произведение делится на ключевой элемент. Результат деления вычи­тается из старого значения элемента, а полученная разность и есть новое значение элемента, которое записывается в новую таблицу.

Общее правило можно выразить так:

1. Для любого преобразуемого элемента в его столбце нужно найти элемент ключевой строки, а в его строке — эле­мент ключевого столбца.

2. Найденные элементы ключевой строки и ключевого столбца перемножаются и полученное произведение делится на ключевой элемент.

3. Частное от деления вычитается из значения элемента, которое он имел до преобразования.

4. Полученный после вычитания результат является преоб­разованным элементом и записывается в новой таблице в том же месте.

Правила преобразования элементов ключевой строки и всех остальных строк можно представить так:

1) Преобразованные Старые элементы ключевой строки

элементы ключевой = _________________________________

строки Ключевой элемент

Соответствующие Соответствующие

2) Преобразованные элементы × элементы

элементы всех осталь- = Старые --- ключевой строки ключевого_столбца

ных строк элементы Ключевой элемент

Преобразование производится до тех пор, пока в целевой строке будут все элементы положительны.

Рассмотрим пример.

Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции	Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции	Коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Отно- шение
			65	70	68	0	0	0
0	Х4	400	8	9	10	1	0	0	44,4
0	Х5	350	9	6	6	0	1	0	58,3
0	Х6	280	7	11	8	0	0	1	25,45
zi-cj		0	-65	-70	-68	0	0	0
0	Х4	170,91	2,27	0	3,45	1	0	-0,82	72,3
0	Х5	197,27	8,45	0	1,64	0	1	-0,55	23,35
70	Х2	25,45	0,64	1	0,73	0	0	0,09	39,77
zi-cj		1781,82	-20,45	0	-17,1	0	0	6,36
0	Х4	117,92	0	0	3,00	1	-0,27	-0,67	39,31
65	Х1	23,35	1	0	0,19	0	0,12	-0,07	122,89
70	Х2	10,51	0	1	0,61	0	-0,08	0,13	17,23
zi-cj		2259,24	0	0	-13,13	0	2,42	5,03
0	Х4	66,23	0	-4,92	0	1	0,12	-0,03
65	Х1	20,08	1	-0,31	0	0	0,14	-0,11
68	Х3	17,23	0	1,64	1	0	-0,13	0,21
zi-cj		2485,46	0	21,52	0	0	0,70	7,83

Проверим полученные результаты:

Целевая функция

F =65 *20,08+ 70 *0 + 68 *17,23=2476,84≈2485,46 р.

Таким образом, получен оптимальный план производства продукции, при этом будет производиться продукция В₁ и В₃ в количестве 20,08 и 17,23 т, соответственно, при этом останется недоиспользованным сырья вида А₁ в количестве 66,23 т.

Список использованных источников

1. Джонс Дж.К. «Методы проектирования»-М.:Мир,1986

2. Математические методы принятия решений в экономике : Учебник/ Под ред. В.А. Колемаева / ГУУ. – М.:ЗАО «Финстатинформ», 1999. – 386 с. - – 5000 экз.

3. Экономико-математические методы и модели планирования и управления. Под общей редакцией проф. В.Г. Шорина. – М., «Знание», 1973.

4. Экономико-математические методы и модели в организации и планировании промышленного предприятия: Учеб.пособие под ред. Кузина Б.И. – Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1982.

5. Математические методы и модели в пищевой промышленности. Под общей редакцией проф. В.Г. Воронина. – М., 1986.