19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Пусть l – прямая.
x={x; y; z} l
A, B
S – направляющий вектор прямой.
Тогда
АХ и АВ коллинеарны.
АХ=λS – параметрическое уравнение прямой, λ – параметр.
или
Это параметрическое уравнение прямой в координатной плоскости. Исключая параметр λ получаем каноническое уравнение прямой:
Вторая формула здесь – уравнение прямой (АВ).
20. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
l1, l2, S1, S2 – направляющие вектора.
φ – угол между прямыми
Условие параллельности прямых:
S1 коллинеарна S2 S2=λ*S1
Условие перпендикулярности векторов:
S1*S2=0
Прим.:
Найти угол образованный прямыми l1 и l2:
Прим. 2:
Скрещиваются или пересекаются прямые из предыдущего примера.
А
=(x0;
y0;
z0)
– точка пересечения прямых
Пусть t=λ
И
з
этого следует, что прямые или скрещиваются,
или параллельны.
Если l1 || l2 => S1 коллинеарна S2, но
21. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
Пусть a, b – некомпланарны. α – плоскость. А – точка на плоскости. Х=(x; y; z)
Т
огда:
AX, a, b – компланарны.
Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, что
АХ= λ1*а + λ2*b.
Это параметрическое уравнение плоскости, где λ1, λ2 – параметры.
Исключаем параметры λ1 и λ2, получаем новое уравнение плоскости.
А
налогично
получаем уравнение плоскости, проходящей
через 3 данные точки:
X(x; y; z)
A(a1; a2; a3) B(b1; b2; b3) C(c1; c2; c3)
A
X
AB
AC
– компланарны.
Прим.:
Написать уравнение плоскости АВС, проходящей через 3 точки А(1; 2; 3) В(2; 1; 2) С(3; 5; 1).
Можно сразу все подставить в полученную формулу:
X(x; y; z)
АВ={1; -1; -1}
АС={2; 1; -2} – это дает 2-ю и 3-ю строчки определителя.
Раскрываем определитель по 1-й строке и получаем:
z+x-4=0 – плоскость (АВС)
22. Параметрическое уравнение плоскости
Пусть a, b – некомпланарны. α – плоскость. А – точка на плоскости. Х=(x; y; z)
Тогда:
AX, a, b – компланарны.
Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, что
АХ= λ1*а + λ2*b.
Это параметрическое уравнение плоскости, где λ1, λ2 – параметры.
Исключаем параметры λ1 и λ2, получаем новое уравнение плоскости.
А налогично получаем уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки:
X(x; y; z)
A(a1; a2; a3) B(b1; b2; b3) C(c1; c2; c3)
AX AB AC – компланарны.
Прим.:
Написать уравнение плоскости АВС, проходящей через 3 точки А(1; 2; 3) В(2; 1; 2) С(3; 5; 1).
Можно сразу все подставить в полученную формулу:
X(x; y; z)
АВ={1; -1; -1}
АС={2; 1; -2} – это дает 2-ю и 3-ю строчки определителя.
Раскрываем определитель по 1-й строке и получаем:
z+x-4=0 – плоскость (АВС)