3. Линейные свойства определителей

Пусть -- матрица n-го порядка.

L_k=a_k1 a_k2 .. a_kn – k-я строка.

1. -- это разложение определителя по i-й строке.

2. -- это разложение определителя по k-му столбцу.

При любом разложении определителя получается один и тот же результат(это свойство принимается без вывода).

3. определитель матрицы с 0-й строкой или столбцом равен 0.

Если L_k=(00…0) – нулевая k-я строка, то определитель матрицы А=0*(det(A))=0. Аналогично для любого столбца.

Вывод: Достаточно разложить определитель по k-й строке.

4. Если в определителе переставить две строки (два столбца) местами, то знак определителя изменится.

Вывод:

переставим две соседние строки

a₁₁*(-1)²⁺¹M₁₁+a*(-1)²⁺²*M₁₂+…+a_1n*(-1)²⁺ⁿ*M_1n=-[a₁₁*(-1)¹⁺¹M₁₁+a₁₂*(-1)²⁺¹*M₁₂…]=-det

Достаточно заметить, что число соседних перестановок матрицы в матрицу является нечетным. Таким образом определитель нечетное число раз меняет знак.

5. Если определитель содержит 2 одинаковые строки(столбца), то он равен 0.

Вывод:

Предположим, что строка L_i=L_k при i≠k. Переставим эти строки местами и получим ту же самую матрицу, но знак определителя должен измениться, поэтому только одно число удовлетворяет этому условию: -0=0=+0.

6. Если строка(столбец) имеет общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

det =

Вывод:

λL_k=[λa_k1*λa_k2*…*λa_kn] Разложим определитель по k-й строке.

det(A)= a_ki*A_ki= a_ki*A_ki

7. Если строка определителя является суммой двух строк(столбцов), то определитель равен сумме двух определителей с учетом каждой строки(столбца).

B_k=(b₁ b₂ … b_n)

C_k=(c₁ c₂ … c_n)

B_k+C_k=(b₁+c₁ b₂+c₂ … b_n+c_n)

det

Вывод:

Достаточно разложить определитель по k-й строке:

det(A)= (b_i+c_i)*A_ki= (b_i*A_ki+c_i*A_ki)= b_i*A_ki+ c_i*A_ki=det

5. Если определитель содержит две пропорциональные строки(столбца), то он равен 0. Если строка(столбец) является линейной комбинацией других строк(столбцов), то он равен 0.

Вывод:

Предположим, что 1-я строка(столбец) является линейной комбинацией других строк(столбцов), это означает, что найдутся такие числа λ₂, …, λ_n, что L₁= λ_i*L_i. Если λ₃=…=λ_n=0, то L₁=λ₂L₂, при λ₂≠0. Получились две пропорциональные строки. Покажем:

Получаем сумму определителей, в каждом можно вынести общий множитель.

Каждое слагаемое справа содержит 2 одинаковые строки, поэтому каждый определитель равен 0.

6. Преобразование строк(столбцов) определителя.

= , где Q=αL_i+βL_k – новая строка. (α, β ≠ 0)

Стрелка указывает на новую строку.

Вывод:

Докажем для определителя 3-го порядка.

= * =

Q= αa₁₁ αa₁₂ αa₁₃ + βa₃₁ βa₃₂ βa₃₃= αa₁₁ + βa₃₁ αa₁₂ + βa₃₂ αa₁₃ + βa₃₃

4. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками

1. Если определитель содержит две пропорциональные строки(столбца), то он равен 0. Если строка(столбец) является линейной комбинацией других строк(столбцов), то он равен 0.

Вывод:

П редположим, что 1-я строка(столбец) является линейной комбинацией других строк(столбцов), это означает, что найдутся такие числа λ₂, …, λ_n, что L₁= λ_i*L_i. Если λ₃=…=λ_n=0, то L₁=λ₂L₂, при λ₂≠0. Получились две пропорциональные строки. Покажем:

Получаем сумму определителей, в каждом можно вынести общий множитель.

Каждое слагаемое справа содержит 2 одинаковые строки, поэтому каждый определитель равен 0.

2. Если строка определителя является суммой двух строк(столбцов), то определитель равен сумме двух определителей с учетом каждой строки(столбца).

B_k=(b₁ b₂ … b_n)

C_k=(c₁ c₂ … c_n)

B_k+C_k=(b₁+c₁ b₂+c₂ … b_n+c_n)

det

Вывод:

Достаточно разложить определитель по k-й строке:

det(A)= (b_i+c_i)*A_ki= (b_i*A_ki+c_i*A_ki)= b_i*A_ki+ c_i*A_ki=det

3. Если строка(столбец) имеет общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

det =

Вывод:

λL_k=[λa_k1*λa_k2*…*λa_kn] Разложим определитель по k-й строке.

det(A)= a_ki*A_ki= a_ki*A_ki