8. Ранг матрицы. Основные свойства.

Пусть А – матрица. Выбираем произвольным образом подматрицы матрицы. Вычисляем их определители, т.е. получаем миноры.

Подматрица 3-го порядка. В₁=А. Подматрицы 2-го порядка:

и т.д. Любой элемент матрицы А является подматрицей 1-го порядка.

Ранг матрицы – наивысший(наибольший) порядок минора, отличного от нуля.

Прим.:

Очевидно, что существуют миноры 1-го порядка отличные от нуля.

Переходим к минорам 2-го порядка:

Переходим к минорам 3-го порядка:

- 1

Наивысший минор, отличный от нуля имеет порядок 2. Следовательно ранг матрицы = 2. Это формальное определение ранга матрицы. Ранг матрицы показывает, какое максимальное число линейно независимых строк или столбцов существует этой матрице. В нашем примере строки ( 1 2 5 ) и ( 6 4 0 ) являются независимыми, строка ( 7 6 5 ) зависит от них линейным образом: ( 1 2 5 ) + ( 6 4 0 ).

Основные свойства ранга матрицы:

Если а – матрица, то r(A) – ранг матрицы.

1. r(A)=r(A^T) – Ранг матрицы равен рангу транспонированной матрицы.

2. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

3. Пусть с – матрица из предыдущей теоремы. Эта матрица получена через последовательность элементарных преобразований. Поэтому r(A)=r(C).

Прим.:

Свойство 3 легко следует из свойства 2. В этом примере получено r(A)=r(C)=2. С помощью элементарных преобразований можно легко найти ранг матрицы, не вычисляя минор. Т.к. r=2, то матрица А имеет 2 линейно независимых строки(столбца). Остальные будут их линейной комбинацией.

Вывод:

3. является следствием из свойства 2. Свойство 1: Выберем в матрице А подматрицу В. Транспонируем матрицу А^т и соответствующую ей матрицу В^т. det(B)=det(B^T)

Свойство 2.:

Докажем это свойство для двух элементарных преобразований:

- Умножение строки на число λ≠0

- Перестановка двух строк местами.

Умножим в матрице А строку a_k на число λ≠0, получим матрицу А^*. Выбираем произвольно подматрицу В из матрицы А. Ей будет соответствовать подматрица В^* в матрице А^*.

1-й случай: Строка А_k не проходит через матрицу В. Тогда В^*=В, поэтому определитель матрицы В равен det(B^*).

2-й случай: Пусть строка А_k проходит через матрицу В. Через матрицу В пройдет строка λ* А_k. det(B*)= λ*det(B).

Поэтому det(B)≠0 det(B^*)≠0.

Рассмотрим 2-е преобразование.

Пусть в матрице А переставлены 2 строки A_i и A_k, получаем новую матрицу А^*. Выбираем произвольно квадратную подматрицу В в матрице А. Рассмотрим случай, когда через В проходят строки A_i и A_k:

Из свойств определителя получаем, что det(B^*)=-det(B)=>det(B)≠0det(B^*)≠0. Следовательно, ранг матрицы не изменился.

9. Решение слу методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

В общем виде будем рассматривать систему m линейных уравнений с n переменными. В общем виде:

Эту же систему можно записать в матричном виде:

А*Х=В , где -- столбец переменных

А*Х=О – однородная СЛУ, где . Очевидно, такая система имеет хотя бы одно тривиальное решение.

-- множество решений СЛУ. Если существует хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместной. Иначе это несовместная СЛУ.

Решение СЛУ методом Гаусса.

Преобразование расширенной матрицы [A|B] в матрицу [C|D] из теоремы в процессе преобразований П1-П4 называется СЛУ методом Гаусса-Жордано. Его также называют методом последовательного исключения переменных.

Система А*Х=В переходит в систему C*Y=D, где расширенная матрица

В левом верхнем углу получаем единичную матрицу, получаем 0 ниже главной диагонали этой матрицы. Это называется прямой ход метода Гаусса. Дальнейшее получение 0 выше главной диагонали называется обратный ход.

Теорема Кронекера-Капелли:

Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы [A|B], то систнма имеет решения. Если ранг матрицы [A|B] больше ранга матрицы А, то система решений не имеет.

Вывод:

В процессе преобразований мы получаем расширенную матрицу [C|D], тогда

r(A)=r(C)=det

Если все свободные члены d_r+1=d_r+2=d_m=0, то система имеет решения. Это очевидно. последние строчки можно отбросить. Предположим, что одно из чисел d_r+1; d_r+2; d_m≠0. Возьмем для примера d_r=1. 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=1 0=1 ложно. Эта СЛУ не имеет решений. Покажем, что ранг расширенной матрицы на 1 больше ранга матрицы А.

L= det(L)=d_m=1 r(A|B)=R(C|D)=r+1=r(A)+1

Получив расширенную матрицу [C|D] мы можем исследовать СЛУ.

Пусть r<n, тогда система имеет бесконечное множество решений.

z _r+1; z_r+2; …; z_n – свободные параметры. Давая им произвольные значения получаем бесконечное множество решений.

Свободные переменные yr+1… -- становятся свободными, а остальные переменные становятся зависимыми. Давая различные значения свободным переменным, получаются различные значения зависимых переменных. Теперь понятно, что система имеет бесконечное множество решений.

Мы рассматриваем случаи, когда система имеет решения, т.е. ранг матрицы и ранг расширенной матрицы равны. Это означает, что в матрице [C|D] ниже единичной матрицы все строки нулевые, т.е. эквивалентны уравнениям 0=0 0=0 0=0 0=0 … 0=0, поэтому их можно удалить.

Рассмотрим случай, когда r=n. В таком случае матрица [C|D] имеет вид: слева от черты находится единичная матрица. Читаем систему . Это единственные решения системы.

Пусть r=n и число уравнений совпадает с числом переменных, тогда в матрице [C|D] слева от вертикальной черты стоит единичная матрица. Нулевых строк нет. Матрица имеет единственное решение .