26.Нагрев тел при постоянной плотности теплового потока

Задание плотности теплового потока, проходящего через поверхность тела, в функции времени и координат называют граничными условиями 2-го рода.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда нагревается бесконечная пластина, причем плотность теплового потока, проходящего через ее поверхность, не изменяется с течением времени (рис. 3.8). До начала нагрева температурное поле пластины равномерное. Нагрев при постоянной плотности теплового потока встречается в методических и камерных печах.

Рис. 3.8. Нагрев плоской пластины при граничных условиях второго рода

Сформулируем задачу математически: за начало отсчета температур примем t_н (начальная температура пластины), тогда всякая другая температура v = t – t_н. Уравнение Фурье для бесконечной пластины примет вид: . (3.11)

Начальные условия: τ = 0; v = 0.

Плотность теплового потока на поверхность равна плотности теплового потока с поверхности вглубь тела. Выражая последнюю с помощью уравнения Фурье , получим

граничные условия: x = ± S; q = ± λ grad t. (3.12)

Приведем уравнение (3.11) и краевые условия к безразмерному виду, получим зависимости безразмерной температуры (имеющей в этом случае другой вид) от безразмерного времени и координаты:

или . (3.13)

Решение задач для тел другой формы аналогично.

Вскоре после нагрева зависимость типа (3.13) приобретает другой вид, поэтому зависимости такого рода представляют не в виде графиков, а в виде формул:

для пластины при

для цилиндра при .

29.Нагрев тел при передаче тепла конвекцией от среды с постоянной температурой

Задание температуры окружающей среды и условий теплообмена между средой и поверхностью в функции времени и координат называют граничными условиями 3-го рода.

Плотность теплового потока, поступающего на поверхность тела,

.

Тепловой поток, поступающий с поверхности внутрь тела,

.

Граничные условия 3-го рода:

.

Процессы нагрева с граничными условиями 3-го рода встречаются очень часто. Один из примеров – нагрев заготовки в печи с постоянной температурой (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Нагрев плоской пластины при граничных условиях третьего рода

Условия: Начало отсчета примем , тогда всякая другая темпера­тура будет выражаться как v= t – tс. В бесконечной пла­стине температура изменяется только вдоль оси ОХ. Уравне­ние Фурье примет вид: . (3.14)

Начальные условия:

τ = 0; v = v_н (3.15)

Граничные условия: x= ± S; (3.16)

Приведя уравнения (3.14÷3.16) к безразмерному виду, получим зависимости безразмерной температуры от безразмерных коэффициентов теплоотдачи, времени и координаты:

или .

20.27.Безразмерный коэффициент теплоотдачи А называют критерием Био – , безразмерное время T – критерием Фурье – .

Для нагрева тел простейшей формы (бесконечная пластина, шар, бесконечный цилиндр) при граничных условиях 3-го рода в технических расчетах пользуются специальными графиками (рис. 3.10) для безразмерной температуры центра

и поверхности .

Графики такого типа построены Д. В. Будриным для F₀ ≥ 1 и Д. В. Будриным и Красовским для F₀ < 1.

Рис. 3.10. Общий вид графиков для определения безразмерных температур центра и поверхности тела