12) О проекциях плоских углов
1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций виде
прямой линии.
2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол
проецируется на нее в виде прямого же угла.
Положим, что сторона СВ прямого угла АСВ (рис. 89) параллельна
плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна Ѱ°. Пусть вторая
сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А°С° в точке К. Проводим
в плоскости проекций через точку К прямую параллельно Ѱ°. Прямая KL также
параллель-
') Для точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на
одной и той же проецирующей прямой, встречается название "конкурирующие".
37
на СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно теореме о трех
перпендикулярах угол C°KL -- также прямой1). Следовательно, и
угол А°С°В° -- прямой.
Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные
(пп. 3 и 4).
3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из
сторон этого угла параллельна плоскости проекций.
4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол
тоже прямой
Рис. 91 Рис. 92
На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на
рис. 90, в пространстве прямые.
В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций
представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла
перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона
параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС
перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3.
Пользуясь сведениями о·проецировании прямого угла, о дополнении системы
я,, 2 системой 4, , ( 8) и о расположении проекций прямой, параллельной
одной из плоскостей проекций ( 11), мы можем выполнить следующее
построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла
данную прямую под углом 90°. Решение показано на рис. 92, где слева дано
исходное положение, в середине показано образование, кроме си-
') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL+C°K, то KLJL
С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C°K.
2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
предыдущим изданиям книги.
38
стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа
выполнено построение прямой AKLBC.
Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4/1,
параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде
прямого же угла AIVKIVBIV. Построив
проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим
AIVKIV % BIV CIV, а затем
получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан
стрелками).
Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы
определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка
АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить
величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить
построение, применив хотя бы способ, изложенный в 13. . ·