26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема: Если случайные величины Х₁,Х₂,…,Х_n одинаково распределены и имеют конечную дисперсию σ², то при n→∞

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

(k=0,1,2,...),

где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытание n достаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k₁;k₂) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k₁;k₂), можно пользоваться приближенной формулой Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁) (k₁ = 0,1,2,..; k₂>k₁), где

27. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Он может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение меньшее y: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

28. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.

Зная плотность распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти их математическое ожидание и дисперсии:M(X) = ∫x·f₁(x)dx, M(Y) = ∫y·f₂(y)dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²·f₁(x)dx = ∫x²·f₁(x)dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²·f₂(y)dy = ∫y²·f₂(y)dy – [M(Y)]².

29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин измеряется с помощью ковариации случайных величин X и Y: cov(X,Y) = M[(X-MX)(Y-MY)]=>cov(X,Y)=M(XY)-MX·MY

Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле удобнее использовать коэффициент корреляции случайных величин Х и Y:

Если коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны. Из независимости следует некоррелированность, но наоборот – не всегда!

Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.

Математическая статистика изучает методы сбора, классификации, обработки и анализа данных, полученных опытным путем. Основная задача математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов. Генеральной совокупностью называют совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях. Выборкой называют результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной, если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности. Конкретной выборкой называется конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий из n реализаций случайной величины Х.

Выборочным средним называется: – эта величина является выборочным аналогом математического ожидания M(X). Выборочным аналогом дисперсии является: – эта величина называется выборочной дисперсией.