18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).

Математическое ожидание непрерывной с.в. называется число

Свойства:

1. М(С) = С, С =const

2. М(С·Х) = С·М(Х), С = const

3. Если X,Y – дискретные с.в., то М(Х+Y) = М(Х) + М(Y)

Дисперсия случайной величины:

Свойства:

1. D(C) = 0

2. D(C·X) = C²·D(X)

3. Если X,Y – дискретные с.в., то D(X+Y) = D(X) + D(Y)

19. Начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X^k: v_k=[M(X)]^k.

Оценка начального момента:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: v₁ = M(x).

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]^k: μ_k = М[Х-М(Х)]=0;

Оценка центрального момента:

В частности, центральный момент первого порядка равен 0: μ₁ = М(Х-М(Х))=0;

Центральный момент второго порядка равен дисперсии: μ₂ = М(Х – М(Х))² = D(X).

2 0. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Плотность распределения:

Плотность распределения:

Функция распределения:

21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Функция распределения:

Плотность распределения:

22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока.

Поток событий – среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Стационный поток – его плотность: постоянная величина.

Поток без последействия – если вероятность попадания определенного числа событий на определенный промежуток времени не зависимо от того, когда и в какие моменты событие появлялось до этого.

Ординарный поток – если вероятность попадания на элементарный промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала с вероятностью попадания на этот же промежуток одного события.

Все эти потоки – простейшие.

23. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики. (Закон Гаусса).

X ~ N(m,σ)

M(X)=m; D(X)=σ²

24. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».

Функция Лапласа:

Правило «трех сигм»

Для любой случайной величины X ~ N(a; σ) вероятность

25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).

Неравенство Чебышева: Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) , то для любого ε>0 справедливо равенство

Под законом больших чисел понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х₁,Х₂,…,Хn ограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство

и предельное равенство

Теорема Бернулли: Если вероятность успеха в каждом n независимых испытаний постоянна и равна p, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливо равенство

, где m – число успехов в серии из n испытаний.