10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.

Дискретная с.в. – с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.

Ряд распределения с.в. (ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x_i,p_i)

X	x1	x2	x3	…	xk	…
P	p1	p2	p3	…	pk	…

Закон распределения с.в.: p_k=P({X=x_k})

11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F_X(x) = P(X<x), .

Под (X<x) понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F_X(x) = F(x).

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. Если , то

12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений:

Свойства:

1. М(С) = С, С =const

2. M(C+X)=M(X)=C

3. M(C·X)=C·M(X)

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

5. Если X, Y – независимые, то M(X·Y)=M(X) ·M(Y)

13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M[(X-m_X)²] или D(X) = M(X²) – (M(X))²;

Свойства:

1. D(C) = 0; C=const

2. D(X+C)=D(X)

3. D(C·X)=C²·D(X)

4. Если X, Y – независимые, то D(X+Y)=D(X) ·(D(Y)

Средним квадратичным отклонением Х называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

, где n – число испытаний в схеме Бернулли, р – вероятность появления события в каждом испытании. Х = {0,1,2,…,n}

M(X)=np; D(X)=np(1-p)

15. Геометрический закон распределения.

, где р – вероятность появления события в каждом испытании; X = {1,2,3,…,k,…}

16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

Если n→∞, а р→0, то , где X = {0,1,2,…,k,…}; λ>0; λ=np – среднее число появлений события в n испытаний.

M(X)=D(X)= λ

17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если она примет более чем счетное число значений.

f_x(x) называется плотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называется кривой распределения случайной величины.

Свойства плотности распределения:

• для всех : f(x)≥0;

• ∫f(z)dz = 1;

• для всех точек , в которых существует производная F`(x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное число значения, равна нулю для всех : Р(Х=х₀) = 0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать: для всех : таких, что с<d:

Р(с≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c<X<d) = F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.