19. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X₁,Х₂,...,Х_n, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию (а) каждой из ветчин:

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в √n раз меньше среднего квадратического отклонения а каждой из величин:

  Теоремы о мат. ожидании числа появлений события в n испытаниях и о мат. ожидании отклонения СВ.

Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х)=nр.

Доказательство. X=X₁+X₂+…+X_n где X_i - Число появления события А в i испытаниях. Для С распределения

X_i 1 … 0

P_i p … q

M(X₁)=1p+0q

M(X_n)=M(X₁+X₂+…+X_n)=M(X₁)+M(X₂)+…+M(X_n)=p+p+…+p=np

Геометрически мат. ожид. Случайной величины равно абсциссе центра тяжести ограниченной кривой распределения (полигон) и осью обсцисс.

20. Интегральная функция распределения вероятности. Ее свойства

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(x)=P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки X.

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0,1]:

Свойство 2. F(x) — неубывающая функция, т. е F(х₂)>=F(x₁), если х₂ > x₁,.

Следствие 1. Вероятность того, что пучайная ве-

величина примет значение, заключенное в интервале (а,

Ь), равна приращению интегральной функции на этом

интервале:

P(a<=X<b)=F(b)-F(a).

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то

1) F(x)=0 при x<=а;

2) F(x)=l при x>=b

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

21. Платность вероятности нсв.

Пусть F(x) имеет первую производную

F'(x)=f(x)

Функция f(x) назв. Плотностью вероятности для данного распределения или дифференциальной функцией распределения f(x) называют первую производную от интегральной функции.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до b:

Геометрически можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью х, кривой распределения f(x) и прямыми х=а и x=b

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна:

F(x)>=0.

Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от — оо до оо равен единице:

22.