13.14.15. Виды закона распределения дсв (биноминальное, Пуассона, гипергеометрическое).
Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член
разложения бинома Ньютона
Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.
Имеются специальные таблицы пользуясь которыми можно найти Рn(k) зная к и λ.
16. Математическое ожидание дсв. Свойства мат. Ожидания.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведении всех ее возможных значений на их вероятности.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y)
Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
17. Дисперсия дсв. Свойства дисперсии Следствия.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:
D(X)=M[X—M(Х)]2 = М[Х2—2ХM(Х)+M2(Х)] = M(Х2)-2M(Х)*М(Х)+M2(Х) = М(Х2)—2М2(Х)+M2(Х) = M(Х2)—М2(Х)
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С ровна нулю: D(X)=0
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=С2D(Х).
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z).
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:
D(C+X)=D(X).
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X-Y)=D(X)+D(Y)
18. Математическое ожидание дсв. Свойства мат. Ожидания.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведении всех ее возможных значений на их вероятности.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C
Дисперсия числа появления события в независимых испытаниях
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq
n – Число событий
p – Вероятность появления
q – Вероятность непоявления
Доказательство.
X=X1+X2+…+Xn где Xi число появления события А в i-том ипытании.
D(X) = D(X1+X2+…+Xn) = D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)
D(Xi) = M(Xi2)-M2(Xi) = p-p2 = p(1-p) = pq
