16. Приведение уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций.

Приведение уравнения f(x)=0 к виду x=φ(x) можно осуществлять множеством способов. Укажем общий прием приведения, обеспечивающий выполнение условия сходимости. Пусть корень ξ[a,b], причем производная заданной функции положительна и на указанном интервале ограничена константами: 0< m  f ’(x) ≤ M, где m=min(f ’(x)), M=max(f ’(x)) для x[a,b]. Если производная f ’(x)<0, то вместо исходного уравнения решаем уравнение: - f(x)=0.

Умножим уравнения f(x)=0 на параметр –λ (λ>0), прибавим к обеим частям по х, в результате получаем уравнение, равносильное исходному:

x=x-λf(x) ,

где правая часть представляет функцию φ(x)=x-λf(x). Подберем параметр λ так, чтобы производная φ’(x)=1-λf ’(x) во всей области [a,b] 0≤φ’(x)<1, т.е. 0≤1-λf ‘(x)<1. Учитывая диапазон изменения производной f ‘(x), должны выполняться неравенства

01-λМ ≤ 1-λm<1.

Следовательно, если задать параметр λ=1/М, то все последние неравенства будут выполняться, причем величина 1-λm = 1-m/M<1.

Таким образом, мы получили, что для функции φ(x)=x-f(x)/M выполняются условия

0≤φ’(x)q=1-m/M <1,

обеспечивающие монотонную сходимость метода итераций с константой q=1-m/M.

17. Общая оценка погрешности приближения к корню.

23. Оценка погрешности приближения в методе простой итерации.

Решение задач на компьютере сопряжено с погрешностями трех видов: первая, неустранимая погрешность или погрешность исходной информации (представляет собой сумму погрешности математической модели и погрешности исходных данных), вторая, погрешность метода или погрешность аппроксимации (порождается применяемым приближенным методом решения) и третья, вычислительная погрешность или погрешность округления (результат конечности разрядной сетки сумматора). Исследуем погрешность аппроксимации на примере метода итераций.

Предположим, что условия теоремы о сходимости выполнены и метод итераций сходится. Оценим по модулю разность между корнем  и приближением x_n+1. Учитывая теорему Лагранжа, неравенства 0<q<1 и неравенство для модуля суммы, получим:

│ξ - x_n+1│=│(ξ) - (x_n)│=│(η)││-x_n│q│-x_n│

 q│(-x_n+1)+(x_n+1-x_n)│ q│-x_n+1│+q│x_n+1-x_n│.

Окончательно имеем │ξ - x_n+1│≤ │x_n+1-x _n│.

Если ≤1 (при q0.5), то│ξ - x_n+1│≤│x_n+1-x _n│. Это означает, что если в процессе итераций выполнилось условие │x_n+1-x_n│ ε, то и│ξ - x_n+1│≤. Если же, например, q=0.9, то = =9, поэтому │ξ - x_n+1│≤9│x_n+1-x_n│, т.е. при выполнении неравенства │x_n+1-x_n│ ε близость x_n+1 к корню ξ оценивается только величиной в 9. Вообще, чем q ближе к единице, тем метод итераций сходится медленнее.

24. Метод Ньютона и оценка погрешности приближения

Получим метод с более высокой скоростью сходимости, чем обычный метод итерации. Для этого вернемся вновь к соотношению между погрешностями на двух соседних итерациях (3):

_n+1=φ '(ξ)•ε_n+[φ ''(η)/2!]•ε²_n; η≤[a.b];

Если φ '(ξ)=0, то ε_n+1=[φ "(η)/2!]•ε²_n, что означает в силу определения 2 квадратичную сходимость итерационного процесса. Преобразуем исходное уравнение f(x)=0, умножая его на некоторую функцию -Q(x) и добавляя по x в каждую часть уравнения:

x=x-Q(x)•f(x).

Таким образом,

φ(х)=х-Q(x)•f(x); φ '(x)=1-Q'•f-Q•f '.

Подставим вместо x корень ξ:

φ '(ξ)=1-Q'(ξ)•f(ξ)-Q(ξ )•f '(ξ)=1-Q(ξ)•f '(ξ);

Для конструируемого метода надо, чтобы φ '(ξ)=0, т.е.

1-Q(ξ)•f'(ξ)=0,

следовательно Q(ξ)= ─ 1/f '(ξ).

Потребуем выполнение последнего соотношения при любом x, тогда и для конкретного значения x=ξ оно также будет выполняться, т.е.

Q(x)= ─ 1/f '(x) и φ(х)=x - ,

а итерационный метод с квадратичной сходимостью определяется формулой

x_n+1= x_n- , где n=0,1,2,… .

Этот метод называется методом Ньютона.

Теорема о сходимости метода Ньютона

Если на концах отрезка [a,b], функция f(x) принимает значения разных знаков, (то есть f(a)•f(b)<0), f '(x),f "(x) определены, непрерывны, отличны от нуля и сохраняют определенные знаки на отрезке [a,b], то исходя из начального приближения х₀[a,b], удовлетворяющего условию f(x₀)•f "(x₀)>0, то для данной функции можно методом Ньютона вычислить единственный на этом промежутке корень уравнения f(x)=0 с любой степенью точности.

Метод Ньютона имеет простую, но весьма наглядную геометрическую интерпретацию.

Запишем уравнение касательной к f(x) в точке x₀:

y(x)=f(x₀)+f '(x₀)•(x-x₀).

Найдем точку x₁―точку пересечения касательной с осью абсцисс, т.е

y(x₁)=0 или f(x₀) - f '(x₀)•(x₁-x₀)=0, откуда x₁=x₀ - .

Нетрудно заметить, что x₁ ― это первое приближение в методе Ньютона.

Аналогично получается x₂.- точка пересечения с осью абсцисс касательной, проведенной к кривой в точке x₁ – рис. 3.

Таким образом, каждая итерация в методе Ньютона геометрически интерпретируется как построение касательной, для которой находится точка пересечения ее с осью абсцисс. Поэтому метод Ньютона называют также методом касательных.