- •1. Алгоритм и его свойства (рассмотреть алгоритм умножения).
- •2. Языки программирования.
- •3. Разветвляющиеся алгоритмы. Алгоритм вычисления арксинуса - агсsin х.
- •4. Программа вычисления арксинуса - Агcsin.
- •5. Программа расчета машинного "эпсилона" - Ерsilon.
- •6. Циклические алгоритмы. Программа вычисления конечного произведения (степени числа а).
- •7. Циклические алгоритмы. Алгоритм вычисления бесконечного произведения.
- •8. Циклические алгоритмы. Программа вычисления бесконечного произведения.
- •9. Программа вычисления гипотенуз с использованием функции Роwer.
- •10. Процедура РrintLine и ее использование в программах.
- •11. Процедура МахМin и ее вызов с различными параметрами.
- •12. Процедура сортировки одномерного массива.
- •13. Задача поиска корней уравнения. Метод половинного деления.
- •14. Алгоритм метода половинного деления.
- •15. Метод простой итерации для поиска корней. Геометрическая интерпретация.
- •16. Приведение уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций.
- •17. Общая оценка погрешности приближения к корню.
- •23. Оценка погрешности приближения в методе простой итерации.
- •24. Метод Ньютона и оценка погрешности приближения
- •25. Модификации метода Ньютона и оценка погрешности приближения.
- •26. Метoд хорд и оценка погрешности приближения.
- •1.6. Метод хорд
- •27. Понятие нормы. Нормы векторов в конечномерном пространстве
- •28. Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.
- •29. Обусловленность систем уравнений. Коэффициент обусловленности.
- •Таким образом
- •30. Свойства коэффициента обусловленности
- •31. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
- •32. Алгоритм метода Гаусса.
- •33. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •34. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.
- •35. Алгоритм метода прогонки.
- •36, Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •37. Сходимость последовательности векторов и матричной прогрессии.
- •38. Сходимость метода простой итерации для решения систем линейных уравнений
- •39. Оценки погрешности метода простой итерации для решения систем уравнений.
- •40. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •41. Алгоритм метода Зейделя.
- •Xnew←t*pi
- •XI← xnew
- •42. Метод последовательной верхней релаксации.
- •43. Постановка и решение задачи интерполирования функции.
- •44. Алгебраическое интерполирование.
- •45. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
41. Алгоритм метода Зейделя.
Исходные данные:
А – квадратная матрица коэффициентов порядка n,
b – столбец свободных членов,
х(0)- столбец начальных значений,
n – порядок системы,
kmax- предельное число итераций (страховка от зацикливания),
- требуемая точность.
Результаты:
х – вектор решений,
begin
i=1,n
x i←xi(0)
pi←1/aii
k =1,kmax
k end←k
i=1,n
t←bi
j =1,n
ij
t=t-aijx
Xnew←t*pi
xnew-xi>
kend=0
XI← xnew
kend0
exit
end
kend – фактическое количество итераций (если достигнута точность ), если точность не достигнута за . kmax итераций, то kend= 0.
Вспомогательные переменные:
t – переменная суммирования для накопления очередной компоненты,
xnew – переменная для временного хранения очередной компоненты решения в новом приближении.
Тело алгоритма состоит из двух последовательных циклов: первый играет вспомогательную роль (назначает начальные значения элементам столбца из неизвестных, вычисляет обратные величины диагональных элементов), второй – он троекратный, реализует процесс Зейделя. Во внешнем цикле (цикл «по ε») меняется значение счётчика k от единицы с шагом, равным единице, до заданного предельного числа итераций kmax. В конце его при истинном неравенстве |xi(k+1)-x(k)i|≤ε (тогда kend=0) выполняется возврат к точке вызова данного алгоритма. В цикле «по строкам» (цикл «по i») вычисляются компоненты очередного приближения xi(k+1) (которые предварительно записываются в переменной xnew) и анализируется условие |xi(k+1)-xi(k)|≤. Если хотя бы для одной компоненты оно не выполняется, то переменной kend присваивается нуль. Самый внутренний цикл (цикл «по j») служит для для реализации вычислений по формуле (15); в нем из правых частей уравнений системы (16) вычитаются левые части, содержащие все неизвестные кроме i-го.
42. Метод последовательной верхней релаксации.
Рассмотрим одно обобщение метода Зейделя, позволяющее иногда в несколько раз ускорить сходимость итерационной последовательности.
Пусть zi(k) – обозначение i-й компоненты k-го приближения к решению системы (1) по методу Зейделя, а обозначение xi(k) будем использовать для i-й компоненты k-го приближения новым методом. Этот метод определим равенством
xi(k+1)=xi(k)+ω(zi(k+1)- xi(k)), (17)
где i=1,2,…,n; k=0,1,2,…; xi(0) – задаваемые начальные значения; ω – числовой параметр, называемый параметром релаксации. Очевидно, при ω=1 метод (3), называемый методом релаксации (ослабления) совпадает с методом Зейделя.
Пользуясь ведёнными здесь обозначениями, запишем на основе метода Зейделя дополнительное к (17) равенство для выражения компонент векторов z(k)=(zi(k))ni=1 через компоненты векторов x(k)= (xi(k))ni=1:
, i=1,2,…, n. (18)
Таким образом, метод релаксации можно понимать как поочерёдное применение формул (3) и (4) при каждом k=0,1,2,…. Действительно, задав начальные значения x1(0), x2(0),…,xn(0) и параметр ω, при k=0, полагая i=1,2,…,n, вычислим z1(1),x1(1); z2(1),x2(1); …; zn(1),xn(1). Далее вычисляем при k=1, также полагая i=1,2,…,n: z1(2),x1(2); z2(2),x2(2); …; zn(2),xn(2), т.д.
Теорема о сходимости метода релаксации (теорема Островского-Рейча).
Для нормальной системы Ax=b метод релаксации, определяемый формулами (17), (18), сходится при любом х(0) и любом ωε(0;2).
Система Ax=b называется нормальной, если матрица А – симметричная (A=A) и положительно определённая ((Ax,x)>0 для любого x0).
Поскольку итерационный процесс (17), (18) содержит параметр, естественно распорядится им так, чтобы сходимость последовательности (х(k)) была наиболее быстрой. Исследование показывает, что оптимальное значение параметра релаксации лежит в интервале ωε(1;2). При этом метод (17),(18) называют методом последовательной верхней релаксации (ПВР). Ввиду неэффективности метода при ωε(0;1), называемого в этом случае методом нижней релаксации, название метод ПВР в последнее время относят ко всему семейству методов (17),(18), т.е. для любых ωε(0;2). При этом случай ωε(1;2) называют сверхрелаксацией.