- •1. Алгоритм и его свойства (рассмотреть алгоритм умножения).
- •2. Языки программирования.
- •3. Разветвляющиеся алгоритмы. Алгоритм вычисления арксинуса - агсsin х.
- •4. Программа вычисления арксинуса - Агcsin.
- •5. Программа расчета машинного "эпсилона" - Ерsilon.
- •6. Циклические алгоритмы. Программа вычисления конечного произведения (степени числа а).
- •7. Циклические алгоритмы. Алгоритм вычисления бесконечного произведения.
- •8. Циклические алгоритмы. Программа вычисления бесконечного произведения.
- •9. Программа вычисления гипотенуз с использованием функции Роwer.
- •10. Процедура РrintLine и ее использование в программах.
- •11. Процедура МахМin и ее вызов с различными параметрами.
- •12. Процедура сортировки одномерного массива.
- •13. Задача поиска корней уравнения. Метод половинного деления.
- •14. Алгоритм метода половинного деления.
- •15. Метод простой итерации для поиска корней. Геометрическая интерпретация.
- •16. Приведение уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций.
- •17. Общая оценка погрешности приближения к корню.
- •23. Оценка погрешности приближения в методе простой итерации.
- •24. Метод Ньютона и оценка погрешности приближения
- •25. Модификации метода Ньютона и оценка погрешности приближения.
- •26. Метoд хорд и оценка погрешности приближения.
- •1.6. Метод хорд
- •27. Понятие нормы. Нормы векторов в конечномерном пространстве
- •28. Нормы матриц. Согласованность и подчиненность норм.
- •29. Обусловленность систем уравнений. Коэффициент обусловленности.
- •Таким образом
- •30. Свойства коэффициента обусловленности
- •31. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
- •32. Алгоритм метода Гаусса.
- •33. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •34. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом прогонки.
- •35. Алгоритм метода прогонки.
- •36, Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •37. Сходимость последовательности векторов и матричной прогрессии.
- •38. Сходимость метода простой итерации для решения систем линейных уравнений
- •39. Оценки погрешности метода простой итерации для решения систем уравнений.
- •40. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •41. Алгоритм метода Зейделя.
- •Xnew←t*pi
- •XI← xnew
- •42. Метод последовательной верхней релаксации.
- •43. Постановка и решение задачи интерполирования функции.
- •44. Алгебраическое интерполирование.
- •45. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
43. Постановка и решение задачи интерполирования функции.
44. Алгебраическое интерполирование.
Начнем с рассмотрения задачи интерполяции в наиболее простом и хорошо исследованном случае интерполирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы (1) многочлен Pn(x)=a0+a1x+a2x2+… +anxn степени n называется интерполяционным многочленом, если он удовлетворяет условиям (2):
Pn(xi)=yi, i= 0, 1, …, n. (7)
Равенства (7) можно записать в виде системы уравнений:
a0+a1x0+a2x02+… +anx0n= y0,
a0+a1x1+a2x12+… +anx1n= y1, (8)
……………………………………………….
a0+a1xn+a2xn2+… +anxnn= yn
относительно коэффициентов многочлена. Эта система однозначно разрешима, так как система функций 1, x, x2,…,xn линейно независима. Однозначная разрешимость системы следует и из того хорошо известного факта, что определитель этой системы - определитель Вандермонда:
1 x0 x02 … x0n
1 x1 x12 … x1n
Dn(x0, x1,…, xn) = ………….…
1 xn xn2 … xnn
отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (7).
В курсе математического анализа доказывается теорема Вейерштрасса: если функция f непрерывна на конечном замкнутом отрезке [a,b], то для всякого >0 существует многочлен Pm некоторой степени m, для которого при любых x[a,b] выполняется неравенство
f(x)-Pm(x).
Иначе говоря, для любого конечного замкнутого отрезка семейство алгебраических многочленов является полным в классе непрерывных на этом отрезке функций. Этот факт позволяет ожидать, что при надлежащем выборе узлов и их числа n непрерывную на [a,b] функцию можно на этом отрезке интерполировать сколь угодно точно алгебраическим многочленом.
На практике система (8) редко используется для вычисления коэффициентов интерполяционного многочлена ak, так как в большинстве приложений они просто не нужны. Кроме того, при n>4 система (8) становится плохо обусловленной. Существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются на практике.
45. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
Приведем одну из форм записи интерполяционного многочлена, не требующий знания коэффициентов ak, – полином Лагранжа.
Из системы (6) видно, что коэффициенты ak будут линейно зависеть от значений f(xi) (i= 0, 1, …, n). Поэтому и многочлен Pn(x) линейно зависит от величин f(xi) и представим, следовательно, в форме
Pn(x)=Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn. (10)
Такое выражение для Pn можно получить, например, если разложить определитель в (8) по элементам последнего столбца. Но коэффициенты li(x) можно найти, не выполняя операции разложения, а используя простые алгебраические соображения. Рассмотрим lk(x). Он будет совпадать с Pn(x), как следует из (9) , если функция f(x), а стало быть, и многочлен Pn(x) будут обладать следующими свойствами:
Pn(xi)= f(xi)= 0 (ik) и Pn(xk)= f(xk)=1.
Как нетрудно видеть, li(x) представляет собой многочлен степени n, удовлетворяющий условию
li(xj)=1 при i=j;
li(xj)=0 при ij.
Таким образом, степень многочлена li равна n и при x=xi в сумме (10) обращаются в ноль все слагаемые, кроме слагаемого с номером j=i, равного fi. Поэтому многочлен Лагранжа (9) действительно является интерполяционным.
Если известны корни многочлена и их кратности, можно записать разложение многочлена на множители:
lk(x)= Ck(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn).
Постоянный множитель Ck может быть определен из условия lk(xk)=1 , что дает Ck= [(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)]-1 и, следовательно,
lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn)]/[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)].
Введем многочлен степени n+1, положив (x)= (x-x0)(x-x1)…(x-xn). Он связан с расположением всех узлов интерполирования, которые для него являются корнями первой кратности. При помощи (x) многочлен lk(x) записывается в виде
lk(x)=(x)/(x-xk)(xk),
и представление (9) интерполирующего многочлена Pn(x) будет следующим:
Pn(x)=lk(x)f(xk)=[(x)/((x-xk)(x)k)]f(xk). (10)
Это равенство называют формулой Лагранжа для интерполирующего многочлена Pn(x), а множители lk(x) называют лагранжевыми многочленами влияния соответствующих узлов интерполирования или множители Лагранжа.