4) Деление отрезка в данном отношении

5)Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами  , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:  ,  ,  .

Рис. 12

Из свойств проекций: ,  ,  . Следовательно,

,  ,  .                                       (2.5)

Легко показать, что

1)      ;

2)     координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами:  .

Расстояние между двумя точками 

где   и   радиус-векторы точек   и  .

     В координатах:

     на прямой   

     на плоскости   

     в пространстве   

     Деление отрезка в данном отношении   

     В координатах:

     на прямой    ;

     на плоскости    ,    ;

     в пространстве    ,    ,   

     Середина отрезка ( = 1) 

     В координатах:

     на прямой    ;

     на плоскости    ,    ;

     в пространстве    ,    ,    .

6)Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов   и   называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними, т. е.   где   и   – длины векторов, а   – угол между ними.

Рис. 7

Если   то 

Длина вектора   вычисляется по формуле 

Косинус угла   между векторами   и   находят по формуле

Если векторы   и   взаимно перпендикулярны, то

Если   и  , то длина отрезка   равна 

Пример 1. Найти величину угла при вершине   треугольника с вершинами 

Решение. Изобразим треугольник   (рис.8).

 Рис. 8

       поэтому 

Замечание. При решении задач векторной алгебры, аналитической геометрии и других иногда приходится искать координаты середины отрезка   где   Координаты середины отрезка ищут по формулам: 

Рассмотрим в заключение этого пункта вопрос определения направления вектора и нахождение орта этого вектора, т. е. единичного вектора того же направления, что и сам вектор.

Пусть   – углы между вектором   и координатными осями 

Косинусы углов   называют направляющими косинусами вектора  . Находят   по формулам:   

 причем 

Пример 2. Найти направляющие косинусы вектора 

Решение. 

Пример 3. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор 

Решение. Единичный вектор находят по формуле   Так как длина вектора   равна   то единичный вектор  , т.е. его координаты получают делением координат вектора   на его длину.

Замечание. Очевидно, 

8)Векторное произведение

Определение. Векторным произведением векторов   и   называется вектор   удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор   перпендикулярен и вектору  и вектору  ; 2) длина вектора   равна  (  – угол между   и  ); 3) с конца вектора   кратчайший поворот от вектора   к вектору   кажется происходящим против часовой стрелки.

Рис. 9

Заметим, что такую тройку векторов принято называть правой (рис. 9).

Обозначим векторное произведение  . Ясно, что  , так как изменится на противоположное направление вектора  при неизменной и равной площади параллелограмма со сторонами a и b длине этого вектора.

Векторное произведение векторов   и   вычисляют по формуле:

.

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного на  и  как на сторонах:  , или площадь треугольника, построенного на этих векторах: .

Пример 4. Найти площадь треугольника  , если известны координаты его вершин: 

Решение. Найдём векторы   и  :

 тогда  . Находим  .

Имеем

9)Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением векторов  и   называется число  . Обозначают смешанное произведение  . Численно смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах  и  как на сторонах, взятому со знаком +, если эта тройка векторов правая, и со знаком -, если эта тройка левая. Если же  и компланарны, то 

Если   и   то

С помощью смешанного произведения можно вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах   и   или объем пирамиды, построенной на этих векторах: