![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Элементы линейной алгебры
- •1)Матрицы и операции над ними
- •Основные действия над матрицами
- •Транспонирование матриц
- •Обратная матрица
- •Вычислительная сложность
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы нахождения обратной матрицы
- •Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Использование lu/lup-разложения
- •Примеры Матрица 2х2
- •8) Ранг матрицы
- •9) Теорема Кронекера-Капелли.
- •10) Метод Гаусса.
- •2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •1) Линейные операции над векторами
- •2) Проекция вектора на ось, свойства проекции
- •4) Деление отрезка в данном отношении
- •11) Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •12) Параметрические уравнения прямой
- •13) Угол между прямыми
- •14) Угол между прямой и плоскостью
- •1)Комплексные числа. Модуль и аргумент.
- •Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)
- •Геометрическое изображение комплексных чисел (в чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)
- •Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)
- •2)Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)
- •Основные свойства умножения
- •Деление комплексных чисел
- •Возведение комплексного числа в натуральную степень
- •Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
- •4)Формулы Эйлера. Формула Муавра
- •Рациональные функции
- •1.Рациональные дроби. Теорема Безу
- •2.Простейшие дроби
- •3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
- •4. Метод неопределенных коэффициентов
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
1) Линейные операции над векторами
Суммой
двух
векторов
и
называется
вектор, который идет из начала вектора
в
конец вектора
при
условии, что вектор
приложен
к концу вектора
(правильно
треугольника). Построение суммы
изображено
на рис. 1.
Наряду
с правилом треугольника часто пользуются
(равносильным ему) правилом параллелограма:
если векторы
и
приведены
к общему началу и на них построен
параллелограмм, то сумма
есть
вектор, совпадающий с диагональю этого
паралеллограмма, идущей из общего
начала
и
(рис.
2). Отсюда сразу следует, что
.
Сложение
многих векторов производится при помощи
последовательного применения правила
треугольника (см. рис. 3, где изображено
построение суммы четырех векторов
,
,
,
).
Разность
двух
векторов
и
называется
вектор, который в сумме с вектором
составляет
вектор
.
Если два вектора
и
приведены
к общему началу, то разность их
есть
вектор, идущий из конца
(«вычитаемого»)
к концу
(«уменьшаемого»).
Два вектора равной длины, лежащие на
одной прямой и направленные в
противоположные стороны, называются
взаимно обратными: если один из них
обозначен символом
,
то другой обозначается символом
.
Легко видеть, что
.
Таким образом, построение разности
равносильно прибавлению к «уменьшаемому»
вектора, обратного «вычитаемого».
Произведение
(или
также
)
вектора
на
число
называется
вектор, модуль которого равен произведению
модуля вектора
на
модуль числа
;
он параллелен вектору
или
лежит с ним на одной прямой и направлен
так же, как вектор
,
если
-
число положительное, и противоположно
вектору
,
если
-
число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:
1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:
2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:
.
В частности, если
,
,
то
,
и
.
Если
,
то для любого числа
.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов
, ,
является пропорциональность их координат:
.
Тройка
векторов
,
,
называется
координатным базисом, если эти векторы
удовлетворяют следующим условиям:
1). Вектор лежит на оси Ох, вектор - на оси Оу, вектор - на оси Oz;
2). Каждый из векторов , , направлен по своей оси в положительную сторону;
3).
Векторы
,
,
единичные,
то есть
,
,
.
Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде
;
коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции вектора на координатные оси)
2) Проекция вектора на ось, свойства проекции
Пусть
в пространстве даны два вектора Рассмотрим
ось l и
отложим на ней единичный вектор Под
углом между вектором
и
осью l понимают
угол Итак,
пусть l –
некоторая ось и Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2на оси l. Тогда проекцией вектора Проекцию
вектора
на
ось l будем
обозначать Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2– x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0. Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Доказательство.
Ясно, что проекция вектора не изменится
при его параллельном переносе, поэтому
достаточно рассмотреть случай, когда
начало вектора совпадает с началом
отсчёта O оси l.
Так как координата проекции начала
равна нулю, то обозначим
Доказательство.
Пусть Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
Доказательство.
Пусть угол между вектором
и
осью
Если
λ > 0, то вектор
При
λ > 0
Если
же λ < 0, то
и
имеют
противоположные направления и
вектор
составляет
с осью угол π – φ и Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось. |
|
3)Базис. Декартова прямоугольная система координат |
||||
Определение. Три
вектора После приведения к одному началу компланарные векторы лежат в одной плоскости. Определение. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой. Теорема. Каждый вектор в пространстве, плоскости или на прямой может быть разложен по базису пространства, плоскости или прямой соответственно, причем это разложение единственно.
Таким
образом, если При сложении векторов складываются соответствующие координаты, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.
Взаимно
перпендикулярные и имеющие единичную
длину векторы Определение. Совокупность точки – начала координат и ортонормированного базиса называют декартовой прямоугольной системой координат.
Рис. 5
Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат, а плоскости, проходящие через оси координат – координатными плоскостями.
Рис. 6
Для
каждой точки
И
вообще
Если
точка
Пример. Найти
координаты вектора
если
Решение.
Коллинеарные
векторы
и
Например,
векторы |