Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления n + 1 определителей размерности  . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка O(n⁴), что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью O(n³), сравнимой со сложностью метода Гаусса.^[1]

7) Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• , где   обозначает определитель.

•  для любых двух обратимых матриц A и B.

•  где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

•  для любого коэффициента   .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ_i (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n³).

С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополненийэлементов исходной матрицы.

Использование lu/lup-разложения

Матричное уравнение AX = I_n для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через X_i; тогда AX_i = e_i,   ,поскольку i-м столбцом матрицы I_n является единичный вектор e_i. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B ^{− 1} = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U ^{− 1}L ^{− 1}. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L ^{− 1} и DL = U ^{− 1}. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для   из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для  из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D. получаем равенство A ^{− 1} = DP.

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения   в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору  , обеспечивающие выполнение условия   (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы   (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и  , то можно взять  , где  ; если же A — произвольная невырожденная матрица и  , то полагают  , где также  ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что  , положить  ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что   будет малой (возможно, даже окажется  ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.