23. Вероятностный смысл математического ожидания

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

24. Свойства математического ожидания

Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Доказательство: Будем рассматривать постоянную C как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение C и принимает его с вероятностью p=1. Следовательно,

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Доказательство: Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Запишем закон распределения случайной величины CX:

Математическое ожидание случайной величины CX:

Итак,

Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математический ожиданий:

Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых.

25. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Для определения дисперсии случайной величины необходимо ввести понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть Х — случайная величина и — ее математическое ожидание. Рассмотрим теперь в качестве новой случайной величины разность .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Приведем важное свойство отклонения: . Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны. В результате их взаимного сокращения среднее значение отклонения равно нулю. Поэтому целесообразно заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или квадратами. В случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что иногда приводит к затруднениями. Поэтому чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

26. Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия D(X) - мат. ожидание квадрата ее отклонения от мат. ожидания: D(X)=M[X-M(X)]^2. Min отклонение Х от постоянной С, тогда, когда M(X)=C. Тогда D(X)=min. Среднее квадратическое отклонение σ = корень из D(X).

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, док-во: подставить С в опред D.

2)D(kX)=k^2D(X), док-во: аналогич.

3)D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2, док-во: раскрыть скобки в опред-и D. 4)D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y).