16. Биномиальное распределение

Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемой формулой Бернулли Этот закон назван «биноминальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона:

Первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях …последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Можно записать Биноминальный закон в виде таблицы:

17. Распределение Пуассона

При больших n использовать ф-лу Бернулли не удобно.

Теорема. Если вер-сть р наступления соб. А в каждом испытании →к 0 при n→∞, причем произведение np →к постоянному числу λ, то вероятность Pm,n того, что соб. А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству . По ф-ле Бернулли Pm,n= p^mq^n-m; =n!\(n-m)!m!=n(n-1)...(n-m+1)\m! – подставляем в ф-лу Бернулли и учитывая, что lim np= λ (при n→∞), т.е. при достаточно больших n, p≈ λ\n. Подставляем р^m= (λ\n)^m. Pm,n=(λ^m\m!)*[1*(1-1\n)(1-2\n)…(1-(m-1)\n)]*(1- λ\n)ⁿ(1- λ\n)^-m. Т.к. lim(1-1\n)=lim(1-2\n)=…=lim(1-(m-1)\n)=1 (при n→∞), а lim(1- λ\n)ⁿ=e^-λ и lim(1- λ\n)^-m=1, то limPm,n= λ^me^-λ\m! Но согласно условия теор Пуассона: р→0, n→∞, np→λ, λ≤10, то Pm,n≈ λ^me^-λ \ m!.

Определение Пусть где >0, к=0,1,2…

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. По определению имеем

Если в сумме k= 0, то соответствущее слагаемое равно нулю, так как 0! = 1. Поэтому

, (с учетом ).

^=о

Вычислим DX. Предварительно вычислим . Пользуясь тождеством имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому

18. Геометрическое распределение

Определение. Пусть

, где 0 < р < 1, q= р - 1,k = 0, 1, 2,...

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет геометри­ческое распределение.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. Пользуясь теоремой о почленном дифферен­цировании степенных рядов, имеем

Вычислим МХ². Пользуясь тождеством , имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому .

19. Гипергеометрическое распределение

Вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных исходов.

–эта формула определяет распределение вероятностей, которое называется гипергеометрическим.

Если n значительно меньше N (практически если ), то гипергеометрическое распределение вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биноминальному закону.

. Теор (без док-ва). M(X)=nM\N, D(X)=(1-M\N)*(1-n\N)*n*M \(n-1).