![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. События и операции над ними
- •2. Классическое определение вероятности
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическое определение вероятности
- •5. Теорема сложения вероятностей
- •6. Произведение событий
- •7. Условная вероятность
- •8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •9. Формула полной вероятности
- •10. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •11. Формула Бернулли
- •12. Локальная теорема Лапласа
- •13. Интегральная теорема Лапласа
- •14. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
- •16. Биномиальное распределение
- •17. Распределение Пуассона
- •18. Геометрическое распределение
- •19. Гипергеометрическое распределение
- •20. Математические операции над случайными величинами
- •21. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •22. Математическое ожидание дискретной случайной Величины
- •23. Вероятностный смысл математического ожидания
- •24. Свойства математического ожидания
- •25. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Формула для вычисления дисперсии
- •28. Свойства дисперсии
- •29. Среднее квадратическое отклонение
- •30. Начальные и центральные теоретические моменты
- •31. Закон больших чисел
- •32. Функция распределения случайной величины
- •33. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •34. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •35. Моменты непрерывной случайной величины
- •36. Равномерный закон распределения
- •37. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •38. Нормальный закон распределения
- •39. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •40. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •41. Распределение "хи квадрат"
- •42. Распределение Стьюдента
- •43. Система двух случайных величин
- •1. Генеральная и выборочная совокупности
- •2. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •3. Способы отбора из генеральной совокупности.
- •4. Статистическое распределение выборки.
- •5. Эмпирическая функция распределения.
- •6. Полигон и гистограмма.
- •7. Статистические оценки параметров распределения.
- •8. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •9. Средние значения количественного признака X.
- •10. Дисперсии количественного признака X.
- •11. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
- •12. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.
- •13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
- •14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
- •15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
- •16. Статистическая проверка статистических гипотез.
- •17. Отыскание правосторонней критической области.
- •18. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей.
13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
Доверит. интервал для a при известном параметре σ.
Пусть x1, x2,…,xn — выборка из N(a, σ), причем a неизвестно, а σ известно.
Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).
Для решения задачи воспользуемся следующим фактом.
Пусть
X1,
X2,
Xn,
— независимые случайные величины,
распределение которых нормально с
параметрами a
и σ.
Тогда
случайная величина
нормальна
с параметрами a
и
.
Для
обоснования этого утверждения достаточно
вычислить плотность распределения
.
Статистика
имеет нормальное распределение с
параметрами (0,1)(стандартное нормальное
распределение). Пусть
—
квантиль
порядка
стандартного нормального распределения.
Тогда
,
следовательно
.
Таким образом статистики
задаются равенствами
,
,
и доверит. интервал для a
построен.
14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ.
Пусть x1, x2,…,xn — выборка из N(a, σ), причем a и σ неизвестны.
Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).
,
Для
решения воспользуемся теоремой:
Пусть x1,
x2,…,xn
— выборка из N(a,
σ),
Статистика
имеет
распределение Стьюдента с (n
- 1)
степенью свободы. (Без доказательства)
Построим,
пользуясь этой теоремой, доверительный
интервал для a.
Для этого прежде всего заметим, что
плотность вероятности распределения
Стьюдента с (n
- 1)
степенью свободы является четной и
положительной функцией x.
Поэтому,
если
—
квантиль
распределения Стьюдента с (n
- 1)
степенью свободы порядка
(то есть корень уравнения F(U)
=
,
где F(U)
— функция распределения Стьюдента с
(n
- 1)
степенью свободы), то
,
следовательно,
,
.
Итак,
,
,
и задача решена.
15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
Доверительный интервал для σ при известном параметре a.
Пусть x1, x2,…,xn — выборка из N(a, σ), причем σ неизвестно, а a известно.
Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).
Воспользуемся
тем, что статистика
имеет распределение χ2
с n
степенями
свободы. Пусть Kn(x)
— соответствующая функция распределения,
,
— квантили этого распределения порядков
и
соответственно. Тогда
,
поэтому
,
,
и задача решена.
Доверительный интервал для σ при неизвестном параметре a.
Пусть x1, x2,…,xn — выборка из N(a, σ), причем σ и a неизвестны.
Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).
Эту
задачу будем решать так же, как предыдущую,
только неизвестный параметр a
заменим
его оценкой
.
Тогда статистика
тоже будет иметь распределение χ2,
но не с n,
a
с (n-1)
степенью свободы. Пользуясь этим и
рассуждая как в предыдущем пункте,
получаем
,
,
где
,
— квантили распределения χ2
с (n-1)
степенью свободы порядков
и (
)
соответственно.