§3. Сподівана корисність

Лотерея L може привести до різних виграшів, які задані рядом розподілу:

х1	x2	...	xn
р1	p2	...	pn

Сподіваний виграш у лотереї дорівнюватиме математичному сподіванню випадкової величини -- величини виграшу:

Основна формула теорії корисності дозволяє розрахувати корисність ансамблю результатів лотереї за умов відомої функції корисності U(x):

(4.2)

Якщо можливий розподіл ймовірностей виграшів задається неперервною щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш знаходиметься за формулою , а корисність ансамблю результатів лотереї при цьому можна розрахувати відповідно таким чином:

Детермінований еквівалент лотереї -- це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї: ~ L і визначається з рівняння:

(4.3)

Тоді страховою сумою буде величина, протилежна до детермінованого еквівалента лотереї.

Премія за ризик r(х) – це сума , якою особа, що приймає рішення може знехтувати (r(х) < M_x ), щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю, тобто лотерея є більш несприятливою ситуацією, ніж та, в якій перебуває особа:

r(х) = M_x - . (4.4)

§4. Схильність – несхильність до ризику

Особа є несхильною до ризику, якщо можливість одержання детермінованого еквівалента лотереї є для неї пріоритетнішою за участь в лотереї. При цьому:

• ;

• премія за ризик є додатним числом : r(х) > 0;

• графік функції корисності є опуклим догори.

Рис.16. Графік функції корисності особи, несхильної до ризику.

Особа є схильною до ризику, якщо для неї пріоритетнішою є участь в лотереї за можливість одержання детермінованого еквівалента лотереї. При цьому:

• ;

• премія за ризик є від”ємним числом : r(х)< 0;

• графік функції корисності є опуклим донизу.

Рис. 17. Графік функції корисності особи, схильної до ризику.

Нейтральність до ризику проявляється в байдужому ставленні до отримання детермінованого еквівалента лотереї чи участі в лотереї. При цьому:

• ;

• премія за ризик дорівнює нулю : r(х) = 0; бо величина сподіваного виграшу співпадає з детермінованованим еквівалентом лотереї:

• графік функції корисності є прямою лінією, а фукція корисності U (x) = a·x + b.

Існує гіпотеза: схильність до ризику проявляється в разі наявності невеликих грошових сум відносно загального достатку, а несхильність – для існування значних сум.

Несхильність до ризику – основа діяльності страхових компаній.

Схильність до ризику – основа грального бізнесу.

Функція схильності-несхильності до ризику є певною комбінацією локальних функцій корисності (рис.18).

Рис. 18. Графік функції схильномті –несхильності до ризику.

Якщо функція схильності - несхильності до ризику є функцією розподілу ймовірностей F(x) i функція щільності розподілу ймовірностей f(x)=F'(x), то матимемо лотерею із неперервним розподілом ймовірностей: L (x є [x_*; x^*]; f(x)). Тоді ставлення до ризику – локальну характеристику особи аналітично можна задати «зрізаною» функцією розподілу ймовірностей:

або ,

де х^*, а^*, b^*є нормалізованими значеннями параметрів х, а. b, а Ф(х) – функція Лапласа для нормального розподілу N(m;σ).

Приклад. Побудувати інтервально-нейтральну функцію корисності, задану шкалою:

	0	10	20	30	40	50
U(x)	0	0.05	0.2	0.4	0.65	1

Для двох точок з відомими координатами A (x_А, U_А), B (x_B, U_B) запишемо рівняння прямої, яка проходить через дві точки: .

Виходячи з цього, отримуємо рівняння інтервально- нейтральної функції корисності

0,005x, x [0;10];

0,015x – 0,1, x [10;20];

U(x) = 0,020x – 0,2, x [20;30];

0,025x – 0,35, x [30;40];

0,035x – 0,75, x [40;50].

U(х)

Рис.19. Графік інтервально- нейтральної функції корисності

х

Стратегічною еквівалентністю вважатимемо існування такої пари фукцій корсності U₁ (x) ~ U₂ (x), якщо вони однаково впорядковують за ступенем привабливості довільну пару лотерей:

U₁ (x) ~ U₂ (x) => a, b:

U₁ (x) = a + b ∙U₂ (x).

U₁ (x) = a + b ∙ x ~ U₂ (x) = х

U₁ (x) = a − b ∙е^−сх ~ U₂ (x) = − е^−сх