29.Ортогональный план эксперимента
Таким терминов называется РА в условиях стратегии активного эксперимента, т.е. когда факторы варьируются. Возникает вопрос: как варьировать факторы, если есть такая возможность в объекте. Сложность активного эксперимента в том, что варьирование факторов на многих уровнях их изменения представляет собой сложную комбинаторную задачу.
В частности, если
имеется m уровней и k
факторов, то общее число опытов составит
.
Из формулы следует, что минимальное
количество уровней варьирования факторов
составляет 2. Получим
.
Такой эксперимент называется полным
факторным экспериментом типа
(ПФЭ типа
).
Задание уровней варьирования производится
относительно базовой точки, выбираемой
внутри области варьирования факторов.
Геометрически факторное пространство можно представить следующим образом:
На данной схеме
показан ПФЭ типа
.
Точки плана обычно располагаются
симметрично относительно его центра.
Значение факторов в ПФЭ даются в безразмерных величинах с помощью специальной кодировки. Эти переменные называются кодированными.
,
где
- кодированная
переменная,
-
некодированная переменная, заданная в
реальных физических единицах измерения
фактора,
-
интервал варьирования фактора, выбираемый
из постановки задачи,
-
базовый уровень некодированной
переменной, определяемый при выборе
центра плана.
Пример.
Применение кодированных переменных позволяет представить ПФЭ как множество вершин гиперкуба в факторном пространстве переменных.
30.Построение матрицы планирования полного факторного эксперимента
Таблица планирования ПФЭ типа имеет вид:
№ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
2 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
3 |
1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
4 |
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
В данной регрессионной модели:
- условный фактор
при постоянном члене уравнения регрессии,
-
коэффициент уравнения регрессии при
взаимодействии факторов,
-
число строк в таблице.
Иногда для упрощения записи вместо 1 пишут «+» или «-». Третий и четвертый столбцы – та часть таблицы, которая строится исходя из правил комбинаторного перебора всех факторов по всем уровням (правило двойного счетчика).
В столбце записывают чередующиеся значения «+1», «-1». В следующем столбце записывают такое же чередование, но с частотой в два раза ниже. Остальные клетки таблицы заполняются либо путем расчета, либо из эксперимента. Столбец - значение фактора взаимодействия, который используется в решении некоторых задач.
Затем проводится эксперимент, который, исходя из одного из положений современной статистики, производится с помощью рандомизации опытов. Это значит, что опыты проводятся не в том порядке, как они записаны в таблице, а случайно. При этом порядок проведения опытов задается таблицей или датчиком случайных чисел, т.к. человек не может задать строгую рандомизацию, как того требует теория.
Проводим эксперимент следующим образом:
произвольно выбираем опыт, подбрасывая монету; пусть выпал опыт №3;
определяем уровни факторов;
находим значения
.
Рандомизация позволяет случайным образом вводить случайные мешающие факторы, не учтенные в модели. При этом дисперсия увеличивается, а точность повышается.
В активном ПФЭ возможно дублирование опытов, которое называется серией опытов. Число серий m. Для плана эксперимента это соответствует тому, что точки в факторном пространстве являются многократными. Проведение серии опытов связано с необходимостью оценить воспроизводимость эксперимента для того, чтобы чисто случайный эффект зависимости y(x) в одной серии опытов был исключен. Проводится проверка по критерию Кохрена.
Построенная таким образом матрица ПФЭ обладает рядом свойств, которые гарантируют не только качество полученных оценок, но и обеспечивают простоту расчетов ПФЭ.
Свойства матрицы планирования ПФЭ:
симметричность
нормированность
ортогональность (сумма произведений двух любых столбцов равна нулю)
рототабельность.
Благодаря свойствам матрицы формула для вычисления коэффициента полиномов уравнения регрессии является простой не только для линейных членов полинома, но и для коэффициентов для вычисления факторов.
Из общей теории РА известно, что
Если включить
столбец
в матрицу, то получим:
Остальные элементы матрицы равны нулю по свойству ортогональности.
На основании свойства нормировки получаем:
Для примера:
Одно из важнейших
свойств ПФЭ – то, что оценки
являются независимыми вследствие
ортогональности плана. Это позволяет
включать и исключать коэффициенты
модели, не делая повторного пересчета.
Оценки, учитывающие взаимодействие
факторов, характеризуют нелинейность
модели.