- •Многомерные статистические методы (для специальности 06.18.00 «Математические методы в экономике»)
- •Содержание
- •9.Методы многомерного анализа 26
- •1.О статистических методах в экономике
- •2.Статистические методы
- •3. Многомерные статистические методы: свойства недетерминированных объектов
- •4.Методы многомерного анализа
- •Дисперсионный анализ;
- •Регрессионный анализ;
- •5.Система случайных величин
- •6.Многомерный нормальный закон распределения
- •7.Статистические выводы и оценивание
- •7.Критерии оценивания в больших выборках
- •8.Метод наименьших квадратов
- •9.Методы многомерного анализа
- •10.Дисперсионный анализ
- •11.Статистическая обработка результатов дисперсионного анализа
- •12.Основная схема дисперсионного анализа
- •13.Применение мнк для дисперсионного анализа
- •14.Планы дисперсионного анализа для изучения источников рассеивания
- •15.Дисперсионный анализ при многосторонней классификации
- •16.Планы многоступенчатой классификации
- •17. Регрессионный анализ
- •18.Задача идентификации в регрессионном анализе
- •19.Оценка результатов регрессионного анализа
- •20.Проверка воспроизводимости
- •21.Проверка значимости
- •22.Проверка адекватности
- •23.Метод гребневой регрессии в регрессионном анализе
- •24.Метод главных компонент
- •25.Факторный анализ
- •26.Корреляционный анализ
- •27.Планирование эксперимента в задачах идентификации
- •28.Общие критерии оптимальности планов эксперимента
- •29.Ортогональный план эксперимента
- •30.Построение матрицы планирования полного факторного эксперимента
- •31.Дробный факторный эксперимент
- •32.Анализ подбираемых моделей при ортогональном планировании
27.Планирование эксперимента в задачах идентификации
Задача идентификации известна для статистики. Её цель – определить параметры линейной регрессионной модели. Планирование эксперимента своей целью ставит максимальное извлечение информации из данных. Планирование дает максимальную эффективность в том случае, когда есть возможность на входе изучаемого объекта сформировать целенаправленное воздействие, при этом говорят, что эксперимент является активным.
При задании плана активного эксперимента решаются следующие задачи:
выбор координат точек в факторном пространстве, где ставятся опыты. В пассивном эксперименте эти точки расположены в факторном пространстве случайно, а в активном – выбираются неким оптимальным образом;
количество опытов в точке факторного пространства.
28.Общие критерии оптимальности планов эксперимента
В настоящее время существует порядка 30 критериев оптимальности планов эксперимента. Выбор того или иного критерия не задается жестко, это творческая работа для исследователя. Все многообразие критериев можно разделить на две группы:
критерии, связанные с достижением наилучших свойств параметров подбираемой модели (не нужно решать задачу прогнозирования);
критерии, связанные с достижением наилучших предсказательных свойств подбираемой модели.
Результатом РА является вычисление коэффициентов регрессии:
Все свойства планов эксперимента формулируются через свойства матрицы .
Рассмотрим критерии оптимальности I группы, которые наилучшим образом определяют свойства параметров модели.
Критерий |
Интерпретация |
||
алгебраическая |
геометрическая |
статистическая |
|
1.Д-оптимальность |
|
Минимальный объем эллипсоида рассеивания |
Минимум обобщенной дисперсии |
2.А-оптимальность |
Sp – степ (произведение элементов главной диагонали) |
Минимум суммы квадратов отклонений эллипсоида рассеивания (минимум длины диагоналей описанного параллелепипеда) |
Минимум средней дисперсии оценок параметров модели |
3.Е-оптимальность |
- собственное число матрицы |
Минимум длины максимальной оси эллипсоида рассеивания |
Некоторые оценки параметров, не обладающих существенной дисперсией |
4.ортогональность |
|
Направление главных осей эллипсоида рассеивания совпадает с направлением осей координат параметров |
Полученные оценки параметров являются независимыми |
В теории статистики существует теорема, которая говорит, что, если эллипсоид рассеивания интерпретировать как многомерный аналог доверительного интервала оценок параметров модели, то критерии Д, А, Е эквивалентны стремлению минимизировать этот доверительный интервал.
Рассмотрим критерии оптимальности II группы. Их предназначение – выявление наилучших предсказательных свойств модели.
Критерий |
Интерпретация |
|
алгебраическая |
Статистическая |
|
1.G-оптимальность |
|
Минимум максимума значений дисперсий предсказаний |
2.Q-оптимальность |
|
Минимум средней дисперсии предсказаний |
3.рототабельность |
- расстояние от центра плана |
Постоянство дисперсии предсказаний на равных расстояниях от центра эксперимента (точность предсказания одинакова для различных направлений от центра плана) |
Нельзя дать общие рекомендации по применению каждого критерия оптимальности, но есть возможность указать область применения различных критериев в задачах построения моделей. Например, если ставится задача построение модели для оптимизации системы управления, то наиболее предпочтительным является такой план, который дает независимые оценки (ортогональность) и желательно рототабельность, т.к. в этом случае возможна организация поиска экстремума, или нужна модель для наилучшего описания и предсказания. Если ставится задача исследования каждой переменной с последующим поиском оптимального решения, то желателен ортогональный и рототабельный план. Если ставится задача построения общей модели с хорошим прогнозом, то желательно использовать Д, А, Е, G, Q – критерии оптимальности.
Наибольшее распространение получили ортогональные планы, т.к. для них было доказано, что при определенных условиях они являются А, Е, Д оптимальными.