- •Многомерные статистические методы (для специальности 06.18.00 «Математические методы в экономике»)
- •Содержание
- •9.Методы многомерного анализа 26
- •1.О статистических методах в экономике
- •2.Статистические методы
- •3. Многомерные статистические методы: свойства недетерминированных объектов
- •4.Методы многомерного анализа
- •Дисперсионный анализ;
- •Регрессионный анализ;
- •5.Система случайных величин
- •6.Многомерный нормальный закон распределения
- •7.Статистические выводы и оценивание
- •7.Критерии оценивания в больших выборках
- •8.Метод наименьших квадратов
- •9.Методы многомерного анализа
- •10.Дисперсионный анализ
- •11.Статистическая обработка результатов дисперсионного анализа
- •12.Основная схема дисперсионного анализа
- •13.Применение мнк для дисперсионного анализа
- •14.Планы дисперсионного анализа для изучения источников рассеивания
- •15.Дисперсионный анализ при многосторонней классификации
- •16.Планы многоступенчатой классификации
- •17. Регрессионный анализ
- •18.Задача идентификации в регрессионном анализе
- •19.Оценка результатов регрессионного анализа
- •20.Проверка воспроизводимости
- •21.Проверка значимости
- •22.Проверка адекватности
- •23.Метод гребневой регрессии в регрессионном анализе
- •24.Метод главных компонент
- •25.Факторный анализ
- •26.Корреляционный анализ
- •27.Планирование эксперимента в задачах идентификации
- •28.Общие критерии оптимальности планов эксперимента
- •29.Ортогональный план эксперимента
- •30.Построение матрицы планирования полного факторного эксперимента
- •31.Дробный факторный эксперимент
- •32.Анализ подбираемых моделей при ортогональном планировании
19.Оценка результатов регрессионного анализа
В результате эксперимента выполнено вычисление полученных оценок регрессионных коэффициентов модели. Возникает вопрос, можно ли использовать полученную модель для описания данных объектов и насколько она будет точной (адекватной).
Для ответа на этот вопрос в РА решаются следующие три задачи:
проверка воспроизводимости эксперимента. Решается вопрос, является ли эксперимент воспроизводимым, т.е. при повторении эксперимента, будут ли одинаковыми результаты;
проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии. Статистическими методами исследуется вопрос, значимо ли отличаются от нуля коэффициенты регрессии или их можно принять равными нулю и тогда исключить из состава модели, упростив её;
проверка адекватности модели. Решается вопрос, соответствует ли модель регрессии данным наблюдения.
20.Проверка воспроизводимости
Эксперимент воспроизводим, если дисперсия условной функции в каждой точке факторного пространства является однородной. Для проверки статистической гипотезы воспроизводимости используется критерий Кохрена:
где r - число повторений опыта в данной точке факторного пространства, - среднее значение в данной точке факторного пространства (результат эксперимента при фиксированном значении факторов).
Статистику Кохрена и статистическую воспроизводимость имеет смысл применять в экспериментах, где факторы или переменные объекта можно зафиксировать.
Критерий Кохрена есть отношение максимальной дисперсии из всех точек наблюдения к сумме дисперсий в этих точках. Критерий проверяется следующим образом:
где критическое значение зависит от числа степеней свободы числителя и знаменателя и уровня значимости.
21.Проверка значимости
На этом этапе решается задача проверки гипотезы .
Проверка значимости производится с помощью критерия Стьюдента:
Расчетное значение сравнивается с критическим, взятым из таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне значимости.
Для более тонкой проверки применяется следующая статистика:
Т.е. при более точном вычислении учитывается взаимосвязь факторов с помощью введения в выражение множественной корреляции. Если незначимые коэффициенты исключаются из модели, то в общем случае требуется пересчет остальных коэффициентов, т.к. при удалении незначимого коэффициента вычеркивается столбец матрицы Х и приходится проверять всю её заново.
22.Проверка адекватности
Существуют процедуры рекурсивного отбора значимых элементов. Эти процедуры ориентированы на минимизацию остаточной дисперсии, т.е. вычеркиваются столбцы матрицы Х.
Для РА в случае пассивного эксперимента возникают большие сложности с оценкой пригодности и работоспособности модели. Проверку пригодности модели делать достаточно просто, если есть возможность получить оценку дисперсии в каждой точке факторного пространства. В результате ДА известна остаточная дисперсия – несмещенная оценка генеральной совокупности основного наблюдения.
Оценить работоспособность модели возможно, если имеется несколько наблюдений в одной точке факторного пространства, что не всегда возможно при пассивном эксперименте, т.к. здесь все точки, как правило, различны.
Один из способов проверки адекватности модели заключается в нахождении коэффициента работоспособности:
Во многих случаях оказывается, что полученная модель не дает эффективного снижения остаточной дисперсии. Дисперсия погрешности основного наблюдения оказывается такой же как и дисперсия отклонения результатов измерений от среднего по модели, таким образом, модель оказывается неработоспособной.
Используется следующая модель работоспособности:
Если , считается, что модель работоспособна.
Для решения той же задачи может быть использован критерий Фишера:
Т.е. дисперсия среднего наблюдений равна дисперсии наблюдения.
Часто полученные регрессионные модели обладают низкой эффективностью, т.е. плохо описывают данные. Это объясняется целым рядом нарушений предпосылок РА:
данные собраны с узким диапазоном варьирования;
большая погрешность регистрации значений входящих переменных;
не учитывается запаздывание объекта;
коррелированность входящих переменных и ошибок наблюдений;
корреляция возникает при наличии обратной связи.
Для улучшения качества РА, в частности получения несмещенной оценки, но с меньшей дисперсией, применяется метод гребневой регрессии.