30. Положительно-определенные
Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.
Квадратичные
формы, для которых
таких, что
Нормальный вид
Квадратичная
форма является положительно-определенной
тогда и только тогда, когда все ее главные
миноры положительны
(критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.
Квадратичные
формы, для которых
таких,
что
Нормальный
вид Квадратичная форма является
отрицательно-определенной тогда и
только тогда, когда
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть
квадратичная форма имеет в каком-то
базисе матрицу
огда
эта форма положительно определена, если
и только если все её главные (угловые)
миноры Δi положительны. Форма отрицательно
определена, если и только если знаки Δi
чередуются, причём Δ1 < 0. Здесь главными
минорами матрицы A называются определители
вида
Для
неотрицательно определённых матриц
критерий действует только в одну сторону:
если форма неотрицательно определена,
то главные миноры неотрицательны.
Обратное неверно. Например, матрица
не
является неотрицательно определённой
— так как, например, (Mv,v) = − 2 для v = (0,1,
− 1). В то же время все её главные миноры
равны 0, то есть неотрицательны.