II. Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение:

 

4. Обратные матрицы. Свойства обратных матриц. Формула для нахождения обратной матрицы. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Свойства обратной матрицы

• , где   обозначает определитель.

•  для любых двух обратимых матриц A и B.

•  где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

•  для любого коэффициента   .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерностьпространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

5. Ранг матрицы. Свойства ранга. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A).

Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

Элементарные преобразования матрицы:

1)   Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2)   Умножение всех элементов строки (столбца) на число  .

3)   Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4)   Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5)   Транспонирование матрицы.

10. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Обозначим через А основную матрицу системы b. Определитель основной матрицы системы называется определителем системы. Определитель системы b имеет вид:

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ≠0, то решение системы определяется равенствами:

Теорема Крамера: Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δj — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ ≠ 0., то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

где Δ — определитель матрицы системы и Δk — определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой k–ого столбца столбцом свободных членов.(без доказательства)

12. Действия над комплексными числами

12.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).                             (28.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁

• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.