26. Евклидовы пространства.
Определение
1. Линейное пространство E
= {f,
g,
h,
…} называется евклидовым, если
ставится
в соответствие число, называемое
скалярным произведением:.
При этом, для
выполняются аксиомы:
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
размерности 1 (вещественная прямая)
размерности
2 (евклидова плоскость)
размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)
Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.
Более абстрактный пример:
пространство
вещественных многочленов p(x)
степени, не превосходящей n,
со скалярным произведением, определенным
как интеграл произведения по конечному
отрезку (или по всей прямой, но с быстро
спадающей весовой функцией, например
)
27. Линейные операторы.
Определение 1. Функция (отображение) А, определенная на линейном пространстве Ln , область значений которой принадлежит линейному пространству Lm (здесь n и m – размерности соответствующих пространств) называется оператором :
Если
Все
прообразы нулевого элемента Lm
называют ядром оператора А:
Определение
2. Оператор А называется линейным, если
для
выполняется равенство:
Примеры.
1)
(Ø). 2)
3)
4)
5)
Пусть
А – линейный оператор:
базисы в соответствующих пространствах
Ln
и Lm
.
Определение 3. Матрицей линейного оператора А называется матрица (будем обозначать ее через Аmn ), столбцами которой являются координаты образов базисных элементов {e} в базисе {f }, т.е. , если
,
то
или в матричной форме:
Замечание. Оператор, в частности линейный, определяет некоторое действие на элементы линейного пространства и не зависит от базиса. В свою очередь, матрица линейного оператора зависит как от базиса пространства прообразов, так и от базиса пространства образов.
Преобразование j линейного пространства Vп называется линейным преобразованием этого пространства, если сумму любых двух векторов а, b оно переводит в сумму образов этих векторов,
(a+b) j =aj + bj (1)
а произведение любого вектора а на любое число а переводит в произведение образа вектора а на это же число а,
(aa) j=a(aj) (2)
Из этого определения немедленно вытекает, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов а1, а2,…, аn, в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов
(a1а1+ a2 а1+… an а1)j = a1(а1j) +a2(а2j) + …+an(аnj) (3)
28.
Собственные
векторы линейного преобразования,
векторы, которые при этом преобразовании
не меняют своего направления, а только
умножаются на скаляр. Например, Собственные
векторы преобразования, составленного
из вращении вокруг некоторой оси и
сжатия к перпендикулярной ей плоскости,
служат векторы, направленные по этой
оси. Координаты х1, х2,..., xn
Собственные векторы линейного
преобразования n-мерного
пространства с матрицей преобразования
||aik||
удовлетворяют системе однородных
линейных уравнений
,
где
l — одно из собственных значений этой
матрицы. Если матрица преобразования
самосопряжённая (см. Самосопряжённая
матрица), то Собственные векторы взаимно
перпендикулярны. При самосопряжённом
преобразовании сфера переходит в
эллипсоид, главными осями которого
являются Собственные векторы
преобразования.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Ненулевой
вектор
называется
собственным вектором линейного оператора
,
если
(
для
комплексного
),
такое, что
Число
называется
собственным числом (собственным
значением) оператора f,
соответствующим этому собственному
вектору.
Если
в некотором базисе оператор f
имеет матрицу А и в том же базисе вектор
имеет
координатный столбец X,
то
или
Собственные
числа
линейного оператора
- корни характеристического уравнения
, где
- матрица оператора f,
- символ Кронекера.
Для
каждого собственного значения
соответствующие
собственные векторы могут быть найдены
из матричного уравнения
или соответствующей ему системы линейных
уравнений
Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид
где
- соответствующие собственные значения.
29.
Квадратичная
форма —
функция на векторном пространстве,
задаваемая однородным многочленом
второй степени от координат вектора.
Пусть
есть векторное пространство над полем
и
— базис в
.
Функция
называется квадратичной формой, если
её можно представить в виде
где
,
а
— некоторые элементы поля К.
Свойства
Критерий Сильвестра
Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.
Для
любой квадратичной формы существует
базис, в котором её матрица диагональна,
а сама форма имеет канонический вид:
Разность между числом положительных (p) и отрицательных (n − p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.
Канонический
вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется
канонической, если все
т. е.
Всякую
квадратичную форму можно привести к
каноническому виду с помощью линейных
преобразований. На практике обычно
применяют следующие способы. 1.
Ортогональное преобразование пространства
:
где
- собственные значения матрицы A.
2.
Метод Лагранжа - последовательное
выделение полных квадратов. Например,
если
Затем
подобную процедуру проделывают с
квадратичной формой
и
т. д. Если в квадратичной форме все
но есть
то после предварительного преобразования
дело сводится к р ассмотренной процедуре.
Так, если, например,
то полагаем
3.
Метод Якоби (в случае, когда все главные
миноры
квадратичной формы отличны от нуля):
