![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§1 Теория погрешности
- •Неустранимая погрешность результата выполнения действий над приближенными числами (вычисления со строгим учетом погрешностей).
- •Вычисления без строгого учета погрешностей
- •§2 Численное решение нелинейных уравнений.
- •2.1 Метод проб
- •2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)
- •2.3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.4 Комбинированные методы
- •§3 Решение систем линейных уравнений
- •3.2 Текущий и окончательный контроль вычислений в методе Гаусса
- •3.3 Уточнение корней
- •3.4 Метод квадратных корней.
2.1 Метод проб
Уточнение корня методом проб заключается в том, что путем последовательного деления отрезок, на котором отделен корень, уменьшается до тех пор, пока длина его не сделается меньше, чем заданная точность.
Пусть, например,
отделили корень на отрезок
,
длина которого равна 1, то есть
.
Разобьем отрезок
на 10 равных частей и вычислим значение
функции
в точках деления. Может оказаться, что
значение функции в одной из точек деления
равно нулю, тогда эта точка и будет
искомым значением корня. Иначе, найдутся
две соседние точки
и
такие, что
.
и
- приближенные значения корня с
погрешностью меньше 0.1, а
- приближенное значение корня с
погрешностью меньше 0.05.
Отрезок
вновь делим на 10 равных частей и находим
точки
,
такие, что
и
.
Продолжая процесс деления, можно найти
отрезок
,
длина которого меньше
,
то есть
Если
,
то процесс закончен, и любая точка
отрезка может быть принята за значение
корня с точностью
Процесс деления можно осуществить не на 10 частей, а на 2. Отсюда получаем
метод половинного деления (метод биекции, «вилки», дихотомии).
Пусть корень
отделен на отрезке
,
то есть
- непрерывна и монотонна.
y y=f(x)
0 a c d b
x* x
Разделим [a,b]
пополам. Из двух полученных отрезков
выбираем тот отрезок, где функция на
концах имеет значения разных знаков
.
Полученный отрезок вновь делим пополам
Продолжая процесс деления получаем отрезок такой, что
,
n
– сколько раз нужно выполнить половинное
деление.
и
,
то процесс деления закончен
Метод удобен для реализации на ЭВМ.
Блок – схема алгоритма метода половинного деления.
Рассмотрим другие методы уточнения корней
Итак, пусть дано уравнение f(x)=0 и корень уравнения х* отделен на отрезке .
Пусть
и
,
и пусть
и
сохраняют знаки на этом отрезке.
При этих условиях возможны 4 случая расположения кривой (эскизы):
1)
2)
y
y
a a
0 x* b x 0 x* b x
3)
4)
y y
x* b x* b x
a 0 x a 0
2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)
Пусть дано уравнение
(1)
где
- непрерывная и дважды дифференцируемая
функция и пусть корень
отделен на отрезке
,
т.е.
,
а
и
сохраняют знаки на отрезке
.
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривой заменяется стягивающей ее хордой.
В качестве приближенного значения корня принимается абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох.
Рассмотрим случай 1),когда и график функции проходит через точки
А (а,f(a))
и B
(b,f(b)),
- корень
уравнения (1). Через точки A
и B
проведем хорду, точку ее пересечения с
осью Ох возьмем за приближенное значение
корня, т.е. точка
- точка пересечения хорды с осью Ох,
.
y
B
(b,f(b))
a x*
0 b x
А (а,f(a))
Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящее через две точки, используя его, запишем уравнение прямой
(2)
(или
) (2’)
Подставляя в
уравнение (2) координаты точки
,
получаем
(3)
Формула (3) – формула метода хорд. В этой формуле числа a и b можно менять местами (или из (2’)):
(3’)
Возьмем теперь
на кривой точку
и проведем хорду через точки
и B
и найдем точку пересечения ее с осью
Ох. Аналогично рассуждая, получим
;
Продолжая процесс, на (k+1) шаге получим
(4)
В рассматриваемом
случае конец a
меняется, получаем последовательность
,
а конец b
не меняется.
Аналогичная картина и в случае 3).
В случаях 2) и 4) неподвижным концом является конец a и в качестве исходной формулы используется формула (3’)
Замечание: неподвижным концом отрезка является тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
Для случаев 1) и
3) последовательность
- возрастающая и ограничена сверху
числом
.
Во 2) и 4) – последовательность
- убывающая и ограничена снизу числом
.
Тогда по теореме об ограниченной последовательности, она сходится и имеет предел, т.е.
,
То есть при достаточно большом к мы можем получить приближенное значение корня с любой степенью точности.