![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§1 Теория погрешности
- •Неустранимая погрешность результата выполнения действий над приближенными числами (вычисления со строгим учетом погрешностей).
- •Вычисления без строгого учета погрешностей
- •§2 Численное решение нелинейных уравнений.
- •2.1 Метод проб
- •2.2 Метод хорд («метод ложного положения» или «метод пропорциональных частей»)
- •2.3 Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.4 Комбинированные методы
- •§3 Решение систем линейных уравнений
- •3.2 Текущий и окончательный контроль вычислений в методе Гаусса
- •3.3 Уточнение корней
- •3.4 Метод квадратных корней.
Вычисления без строгого учета погрешностей
Вычисления без строгого учета погрешностей проводятся по правилам верных знаков. Приближенные числа удобно записывать в виде десятичных дробей
- цифры разрядов
- цена старшего
разряда
- цена младшего
разряда
Определение 1:
цифра
в десятичной записи приближенного числа
называется верной в широком смысле
слова, если
абсолютная погрешность числа не
превосходит одной единицы разряда этой
цифры, то есть, если
- цифра разряда
,
то
Определение 2:
цифра
в десятичной записи приближенного числа
называется верной в узком ( строгом )
смысле слова, если абсолютная погрешность
числа не превосходит
единицы разряда этой цифры, то есть если
,
то
Пример: х=15.84+0.07
Так как
,
то 1, 5, 8 – верны в широком смысле слова.
Определение 3:
значащими цифрами числа называют все
его верные цифры, кроме нулей, стоящих
левее первой цифры
Примеры: 1)
,
так как
,
то 1, 5, 8 – верные и значащие;
2)
,
0, 0, 1, 2 – верные цифры, 1, 2 – значащие
3)
,
0, 5, 0 – верные; 5, 0 – значащие
4)
,
,
4, 2, 6 – значащие.
Правила верных знаков:
1. если число слагаемых не велико (n<10), то при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует оставлять столько десятичных знаков, сколько имеет слагаемое с меньшим количеством десятичных знаков;
2. при умножении и делении приближенных чисел в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет исходные данные с меньшим количеством значащих цифр;
3. при возведении в степень (извлечения корня) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени (подкоренное выражение).
4. если действие промежуточное, то в нем оставляют на одну-две цифры больше, чем рекомендуют правила 1 и 2, эти цифры называют запасными. Округляя результат, запасные цифры отбрасывают.
5. если результат надо получить с к верными цифрами, то исходные данные следует взять с (k+1) верной цифрой.
Пример:
,
1)
9
2)
8
3)
6
4)
19.89-2.376=17.51
5)
0
6)
4
8
§2 Численное решение нелинейных уравнений.
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важнейших задач вычислительной математики. Многие задачи из различных областей сводятся к решению уравнений.
Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:
(1)
Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В общем случае определить точно корни уравнения (1) не представляется возможным, так как коэффициенты в большинстве своем определяются экспериментально и являются числами приближенными, поэтому сама постановка задачи о точном решении теряет смысл. Возникает вопрос о нахождении приближенных значений корней, то есть речь идет о численных методах.
Определение 1: совокупность значений переменной х, при которых уравнение
(1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности называется корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько их, и найти значения корней с заданной точностью.
В дальнейшем мы будем рассматривать только вычисление действий корней.
Задача нахождения корней обычно состоит из двух этапов:
- отделение корней;
- уточнение корней с заданной точностью.
I отделение корней.
Определение 2:
говорят, что корень
отделен на отрезке
,
если он принадлежит этому отрезку и
других корней на отрезке нет.
Исходя из определения, следует: отделить корни уравнения – значит разбить область определения функции на промежутки, в каждом из которых находится не больше одного корня.
Во многих случаях
отделение корней можно провести
графически, для этого строят график
функции
.
Абсциссы точек пересечения графика с
осью Ох и являются корнями уравнения
.
Можно взять точку с такую, что
,
y
y=f(x)
c
a 0
x*1
x*2 b
Построение графиков часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением
(2)
В этом случае
строятся графики функций
и
.
Находят точки пересечения этих графиков.
Абсциссы точек пересечения и есть корни
уравнения (1).
Если имеется предположение, что на (a,b) содержится корень уравнения, то это предположение затем проверяется аналитически, пользуясь свойствами непрерывных и дифференцируемых функций, которые изучались в курсе математического анализа.
Теорема 1(существования корня): если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значение разных знаков, то внутри отрезка существует по крайне мере один корень уравнения
:
Теорема 2 (существования и единственности корня): если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в интервале (a,b) существует корень уравнения (1) и этот корень единственный
:
Достаточным условием единственности корня является монотонность.
Теорема
3(существование и единственность корня):
если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале (a,b),
принимает на концах отрезка значения
разных знаков, а производная
сохраняет постоянный знак в интервале
(a,b),
то существует единственный корень
уравнения (1) в этом интервале
:
Достаточным условием единственности корня является сохранение знака производной.
Пример: отделить корни уравнения
Перейдем к
равносильному уравнению
Строим графики
функций
и
,
y
y2
1 y1
1
x
-1 0
Докажем аналитически существование корня в интервале (-1,0)
непрерывна как сумма двух непрерывных функций на множестве R
,
корень существует
(так как
)
по теореме (3) существует единственный
корень в (-1,0).
Для аналитического отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ. Фактически надо протабулировать функцию с шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений функции , имеющих разные знаки и монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента x (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.
II уточнение корней.
Итак, пусть корень уравнения отделен на отрезке . Имеем:
,
,
- непрерывна и монотонна.
Требуется найти
корень с точностью
.
x*
a b x
Если длина отрезка,
то есть число
,
то и a
и b
можно рассматривать как приближенные
значения корня, ибо абсолютная погрешность
каждого из них
.
Отсюда, для получения приближенного значения корня с точностью , достаточно найти отрезок, которому принадлежит корень и длина которого не больше .
Любая точка отрезка в этом случае может быть выбрана в качестве приближенного значения корня.
,
или
,
где
Существуют различные методы уточнения корней.