- •Б. Б. Желваков
- •Моделирование систем
- •Учебное пособие
- •Санкт-Петербург
- •Составитель
- •Подготовлено на кафедре
- •230201 – Информационные системы и технологии
- •1. Основные понятия теории моделирования систем 6
- •2. Классификация моделей и методов моделирования 21
- •3. Математические методы моделирования 35
- •4. Имитационное моделирование. 62
- •5. Моделирование организационных систем 116
- •6. Методика и стандарты функционального моделирования 140
- •7. Объектно-ориентированное моделирование 166
- •8. Моделирование бизнес-процессов 221
- •9. Моделирование систем с soa-архитектурой 226
- •10. Модели систем с «облачной» архитектурой 237
- •Введение
- •1. Основные понятия теории моделирования систем
- •1.1. Системный подход и понятие «система»
- •1.2. Системный анализ
- •1.3. Понятия «модель» и «моделирование»
- •1.4. Моделирование систем как процесс формирования знаний.
- •1.5. Моделирование больших и сложных систем.
- •2. Классификация моделей и методов моделирования
- •2.1. Основные типы системных моделей
- •2.2. Классификация методов моделирования сложных систем
- •3. Математические методы моделирования
- •3.1. Принципы и подходы к построению математических моделей
- •3.2. Этапы построения математической модели
- •3.3. Примеры математических моделей
- •3.3.1. Модель целенаправленной системы
- •3.3.2. Модель абстрактной системы с неопределённой структурой
- •3.3.3. Модель целенаправленной системы с управлением.
- •3.3.4. Модель оптимального планирования доставки товаров потребителям
- •3.3.5. Модель в контуре управления экономической системы
- •4. Имитационное моделирование.
- •4.1. Понятие имитационного моделирования
- •4.2. Автоматизация имитационного моделирования
- •4.3. Дискретно-событийное моделирование
- •4.3.1. Системы массового обслуживания
- •4.3.2. Механизмы продвижения времени
- •4.3.3. Обозначения смо-систем
- •4.3.4. Параметры систем массового обслуживания
- •4.3.5. Критерии оценки работы систем массового обслуживания
- •4.3.6. Компоненты дискретно-событийной имитационной модели и их программная организация
- •4.4 Этапы исследования системы с помощью имитационного моделирования
- •4.5. Преимущества, недостатки и ошибки имитационного моделирования
- •4.6. Моделирование по методу Монте-Карло
- •4.7. Программное обеспечение имитационного моделирования
- •4.7.1. Классификация программных средств имитационного моделирования
- •4.7.2. Общие элементы моделирования
- •4.7.3. Универсальные пакеты имитационного моделирования
- •4.7.4. Предметно-ориентированные пакеты имитационного моделирования
- •5. Моделирование организационных систем
- •5.1. Концепции и стандарты организационного моделирования
- •5.2. Метамоделирование
- •5.3. Метамодель общих хранилищ данных (cwm)
- •5.4. Моделирование организационных систем
- •6. Методика и стандарты функционального моделирования
- •6.1. Методика функционального моделирования sadt
- •6.2. Диаграммы «сущность-связь»
- •6.3.Стандарты idef
- •6.3. Система моделирования бизнес-процессов AllFusion Process Modeler
- •7. Объектно-ориентированное моделирование
- •7.1. Принципы и методология объектно-ориентированного подхода.
- •7.2. Унифицированный язык моделирования uml
- •7.2.1. Архитектура uml
- •7.2.2. Диаграммы uml
- •7.2.3. Использование uml при моделировании систем реального времени
- •7.2.4. Преимущества uml
- •7.2.5. Унифицированный Процесс разработки по компании Rational
- •7.3. Архитектура, управляемая моделями
- •7.4. Разработка, управляемая моделями (mdd)
- •7.5. Объектно-ориентированное программирование
- •7.6 Инструментальные средства поддержки оо‑технологий
- •8. Моделирование бизнес-процессов
- •9. Моделирование систем с soa-архитектурой
- •9.1. Композитная структура программ
- •9.2. Концепция soa
- •9.3. Сервис-ориентированное моделирование
- •10. Модели систем с «облачной» архитектурой
- •Заключение
- •Литература
4.6. Моделирование по методу Монте-Карло
Моделирование по методу Монте-Карло определяется как процедура, в которой используются случайные числа, то есть случайные величины U(0,1). Такая процедура предназначена для решения стохастических и детерминистических задач, в которых течение времени не играет особой роли. Следовательно, моделирование по методу Монте-Карло является скорее статическим, чем динамическим. Хотя иногда утверждают, что метод Монте-Карло применим к любому типу моделирования, в котором используются случайные числа, лучше считать его использование более ограниченным. Название метода Монте-Карло появилось во время второй мировой войны, когда этот подход был применен к проблемам, связанным с разработкой атомной бомбы.
В качестве примера моделирования по методу Монте Карло приведём оценку интеграла
где g(x) является действительной функцией, которую нельзя интегрировать аналитически. На практике моделирование по методу Монте-Карло вряд ли будет использоваться для оценки одного единственного интеграла, так как для этого существуют более эффективные методы численного анализа. Вероятнее, что он будет применяться для решения задач на кратные интегралы с нерегулярной подынтегральной функцией.
Покажем, как детерминистическая задача может быть решена с помощью моделирования методом Монте-Карло. Пусть Y будет случайной величиной (b - a)g(X), где X ‑ непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале [а, b] (плотность распределения вероятностей такой случайной величины обозначается как U[a,b], U – от англ. uniform ‑ равномерный). Тогда математическое ожидание значения Y
где fX(x) = 1/(b ‑ а) ‑ плотность распределения вероятностей случайной величины X, равномерно распределённой в интервале [a, b]. Таким образом, задача оценки интеграла упрощена до оценки ожидаемой величины E(Y). В частности, оценим E(Y) = I по выборочному среднему:
(n) =
где X1, Х2,..., Хn ‑ независимые и одинаково распределенные случайные величины U[a, b]. Выборочное среднее (n) можно рассматривать как площадь прямоугольника с длиной (b ‑ а) и высотой I/(b ‑ а), которое является непрерывным средним g(x) между [а, b]. Более того, можно показать, что Е[ (n) = 1], то есть (n) является несмещенной оценкой I, а дисперсия Var[ (n)] = Var(Y)/n. Допустим, что дисперсия Var(Y) является конечной, из чего следует, что значение (n) будет сколь угодно близко к I для достаточно большого значения n с вероятностью, равной 1.
Для демонстрации описанной выше схемы в численном отношении предположим, что необходимо оценить интеграл
который, как показывают элементарные вычисления, может иметь значение 2. Результаты применения моделирования по методу Монте-Карло для оценки этого интеграла при разных значениях n приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2. (n) при разных значениях n, полученные в результате применениямоделирования по методу Монте-Карло для оценки интеграла
n |
10 |
20 |
40 |
80 |
160 |
(n) |
2,213 |
1,951 |
1,948 |
1,989 |
1,993 |
В настоящее время моделирование по методу Монте-Карло широко применяется при решении определенных задач статистики, которые не поддаются аналитической обработке. Этот тип моделирования применялся для оценки критических значений или достоверности критерия проверки статистических гипотез. Примером такого применения является определение критических значений критерия Колмогорова-Смирнова для непараметрической проверки гипотезы нормальности.