3.3.4. Модель оптимального планирования доставки товаров потребителям

Задача оптимизации доставки товаров потребителям (скажем с нескольких складов в несколько магазинов) относится к классу задач оптимального планирования.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу нахождения такого плана перевозок продукции с М складов к N потребителям, который требовал бы минимальных затрат. Обозначим Х_ij. — количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j. Пусть P_ij— издержки доставки единицы продукции со склада i потребителю j. Предполагается, что транспортные расходы пропорциональны количеству перевозимой продукции, т. е. Q = РХ.

Обозначим

для i = 1,…, M для j = 1,…,N

С_i — количество продукции, находящееся на складе i;

B_j — количество продукции, необходимой потребителю j.

Для решения задачи необходимо соблюдение следующего условия:

(3.9)

То есть, потребность в продукции всех потребителей должна быть обеспечена количеством товара на всех складах. Целевая функция определяется равенством

(3.10)

Исходными данными при решении данной задачи являются:

• издержки транспортировки либо прибыль от реализации товара (массив Р);

• количество товара на каждом складе (массив C);

• количество товара, нужного каждому потребителю (масив В).

Математическая модель задачи оптимального планирования формулируется следующим образом. Необходимо найти значения действительных переменных X₁, X₂ ..., Х_n, для которых целевая функция Q(x) = P₁X₁+ Р₂Х₂ + ... + Р_nХ_n принимает экстремальное (минимальное) значение на множестве точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

a₁₁X₁ + a₁₂X₂+ ... +a_1NX_N = b₁ (3.11)

а₂₁Х₁ + а₂₂Х₂ + ... + а_2NХ_N = b₂,

…

a_M1Х₁ + а_M2Х₂ + ... + а_MNX_N = b_M,

Х₁≥0, Х₂≥0, ... , X_N≥0.

Здесь коэффициенты a_ij, b_i, P_j (i = 1, 2,..., М; j = 1, 2,..., N) — действительные числа. Использование матричных обозначений позволяет записать задачу линейного программирования в виде:

АХ = В, Х0, Q_min(X) = PX, (3.12)

где:

X = (Х₁, Х₂, ... , Х_N)^T, (T – операция трансформации матрицы)

А ‑ матрица (а_ij) размера MN,

Р = (Р₁, Р₂, ... , Р_N) ‑ вектор размера N,

В = (b₁, b₂, ... , b_M)^T  0 ‑ вектор размера М,

Q_min(X) означает поиск минимума целевой функции.

Q_max(X) = РХ означает поиск максимума целевой функции.

Очевидно соотношение:

Q_min(X) = ‑ Q_max(X) (3.13)

Точка X, удовлетворяющая всем условиям, называется допустимой точкой. Множество всех допустимых точек называется допустимой областью.

Если после отбрасывания одного условия допустимая область не изменяется, то это условие считается лишним.

В случае недостающего условия или для преобразования неравенства в равенство вводится дополнительная переменная.

Решение подобных задач проводится методами линейного программирования. Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных при условии, что они удовлетворяют конечному числу дополнительных условий, имеющих вид линейных уравнений или неравенств.

Задачи подобной оптимизации решаются, например, программой Solver (Поиск решения) в табличном процессоре Microsoft Excel, которая относится к группе средств, выполняющих так называемый анализ "что-если". Суть этой методики состоит в том, что можно автоматически изменять исходные переменные задачи и сразу же видеть результаты этих изменений. Автоматическое обновление вычислений обеспечивает интерактивную обратную связь с экспериментами "что-если". Если для модели установлен автоматический пересчёт, то можно изменять (небольшими порциями - инкрементами) значение ячейки (или нескольких ячеек) независимой переменной (или нескольких переменных) и тут же увидеть результаты пересчёта во всех результирующих ячейках, которые зависят от изменённых значений. Программа запускаемая командой Поиск решения (Solver), может применяться для решения задач, которые включают много изменяемых ячеек (независимых переменных), и помогают найти такие их комбинации, которые минимизируют или максимизируют значения в целевых ячейках (зависимых переменных), которые содержат результаты вычислений, т.е. решений задачи оптимизации.