3. Решение систем линейных уравнений методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Другим эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений (3.1) преобразуется в равносильную ей систему треугольного вида.

(3.5)

Операцию приведения системы (3.1) в систему (3.5) называют прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что последнее уравнение системы (3.5) может иметь другой вид, если система имеет бесчисленное множество решений или несовместна.

Отыскание решения системы (3.5) называют обратным ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения находим , затем из предпоследнего находим , используя уже известные x_n. Неизвестные x_n-2,…,x₃, x₂, x₁ вычисляем из соответствующих уравнений. Перемещаясь к первому уравнению, получим

(3.6)

Заметим, что по методу Гаусса можно исследовать систему линейных уравнений, если определитель ее равен нулю. Также по этому методу исследуются системы, в которых число уравнений и число неизвестных различно.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах.

________________________________________________________________________________

Пример 116. Исследовать и решить систему

Решение. Преобразование системы линейных уравнений по методу Гаусса осуществляется последовательно с помощью ряда шагов, на каждом из которых производится исключение одного неизвестного, сопровождаемое, может быть, перестановкой уравнений в системе. На первом шаге необходимо исключить неизвестное x₁ из второго третьего уравнений, при этом удобно в первом уравнении при неизвестном x₁ иметь коэффициент 1. Второе уравнение системы имеет коэффициент 1 при неизвестном x₁. Переставим первое и второе уравнения

Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму, получим

Теперь первое уравнение умножим на (-5) и прибавим к третьему, получим

Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют подсистему. Исключим x₂ из третьего уравнения. Для этого умножим второе уравнение на (-10), а третье на 7 и прибавим к нему второе, получим

Второй шаг закончен. Система приведена к виду (3.5)- прямой ход Гаусса закончен. Обратным ходом получаем

Итак в данном случае система имеет единственное решение: x₁= -4, x₂= 3, x₃= -1.

Пример 117.

Решение. Переставим первое и второе уравнения

Выполним первый шаг. Исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на (-2) и прибавим ко второму, а умножив первое на (-5) и прибавив к третьему, получим

Выполним второй шаг. В подсистеме, содержащей второе и третье уравнения, исключим x₂ в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на (-2) и прибавим к третьему, получим

В результате этого шага получено уравнение 0=2 или 0·x₁+0·x₂+0·x₃=2. Этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, следовательно, данная система линейных уравнений несовместна.

Пример 118.

Решение. Преобразуем систему по методу Гаусса

Выполним теперь второй шаг.

В результате второго шага из трех уравнений системы осталось два, так как третье уравнение приняло вид 0=0 и удалено из системы. Система приведена к виду (3.5), прямой ход Гаусса закончен. Выполним обратный ход

Свободным неизвестным является x₃, положим x₃=α. Тогда x₁=-18-14α; x₂=36/7+15α/7; x₃=α. Система имеет бесчисленное множество решений. Придавая α различные значения будем получать частные решения. Заметим, что определитель исходной системы равен нулю, поэтому система не может быть решена по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

Пример 119.

Решение. Данная система не может быть решена по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы, так как число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Исследуем систему по методу Гаусса. Выполним первый шаг. Исключим x₁ из второго, третьего и четвертого уравнений.

Исключим x₂ из третьего и четвертого уравнений. Для этого сначала второе уравнение умножим на (-2), а третье на 5 и сложим их, затем второе уравнение умножим на (-7), а четвертое на 5 и сложим их

Замечаем, что третье и четвертое уравнения совпали. Обратный ход метода Гаусса дает x₃= 1, x₂= 1, x₁=2.