Примеры для самостоятельного решения.
Вычислить обратную матрицу для матрицы A
85.
,
86.
,
87.
,
88.
89.
90.
Решить следующие матричные уравнения
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97. Как изменится обратная матрица A-1, если в матрице A переставить местами две строки.
________________________________________________________________________________
3. Системы линейных уравнений.
3.1. Формулы Крамера.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
(3.1)
Определитель n-го порядка Δ=|A|=|aij|, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Теорема. Если определитель Δ отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное решение, которое может быть определено по формулам
(3.2)
где определители n-го порядка Δi (i=1,2,3,…,n) получаются из Δ путем замены i-го столбца свободными членами b1, b2, b3,…, bn.
Формулы (3.2) называются формулами Крамера.
Примечания. Если определитель Δ системы (3.1) равен нулю, то
1) формулы (3.2) не имеют смысла;
2) система может иметь бесчисленное множество решений или не иметь решений (быть несовместной);
3) исследование системы может быть проведено по методу Гаусса.
________________________________________________________________________________
Пример 98. Решить систему и сделать проверку
Решение. Определитель системы
поэтому решение ее определяется по формулам Крамера (3.2). Вычислим Δ1 и Δ2
Тогда x1=13/13=1, x2=-26/13=-2. Сделаем проверку
то есть
Пример 99. Решить систему
Решение. В данной системе x=x1, y= x2, z= x3. Вычислим определители
Так как Δ≠0, то данная система имеет единственное решение. Находим его по формулам (3.2)
x= Δx/ Δ=5/10=1/2, y= Δy/ Δ=20/10=2, z= Δz/ Δ=15/10=3/2.
Примеры для самостоятельного решения.
Решить следующие системы
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
________________________________________________________________________________
3.2.Решение систем методом обратной матрицы.
Пусть дана система (3.1). Введем матрицы
Тогда система (3.1) может быть записана в матричной форме
A·X =B (3.3)
Если матрица A-невырожденная, то есть определитель системы Δ=|A|≠0, то существует обратная к ней матрица A-1. Умножая обе части уравнения (3.3) на матрицу A-1 слева, получим решение системы (3.3) в матричной форме
X = A-1·B (3.4)
Если матрица A-вырожденная, то есть |A|=0, то решение системы(3.1) с помощью обратной матрицы невозможно. В этом случае можно использовать метод Гаусса.
________________________________________________________________________________
Пример 108. Найти решение системы
Решение. Вычислим определитель системы
Матрица A-вырожденная, найдем обратную матрицу.
Решение имеет вид (3.4)
Отсюда x1= 5, x2= -1.
Пример 109. Решить систему
Решение. Выпишем матрицы A, X, B
Определитель системы Δ=|A|=-1. Обратная матрица A-1.вычислена в примере 83. Тогда решение имеет вид (3.4):
Отсюда следует, что x1= 1, x2= 2, x3= 3.
Примеры для самостоятельного решения. Решить системы с помощью обратной матрицы
110.
111.
112.
113.
114.
115.
________________________________________________________________________________