7.4. Задача оптимизации систем в условиях неопределенности

При разработке технических, социальных или любых других систем необходимы данные об условиях функционирования проектируемых систем, которые могут зависеть от состояния среды, в которой они будут эксплуатироваться. Однако часто исследователь сталкивается с ситуацией, когда информация о среде отсутствует или можно сделать лишь некоторые предположения о ее состоянии.

Условия работы системы, как правило, сильно зависят от состояния среды, которое, в свою очередь, часто имеет вероятностный характер, что усложняет процесс определения оптимальных систем. В таких ситуациях целесообразно использовать байесовский метод принятия решений о ненаблюдаемых переменных, основанный на знании априорного распределения вероятностей и на условном распределении других переменных при заданном значении ненаблюдаемых переменных.

Сформулируем в общем виде задачу поиска оптимальной системы в условиях неопределенности. Допустим, проектировщик имеет или может определить:

A = (A₁, A₂,..., A_i, ..., A_m) – множество всех возможных вариантов проектируемой системы;

Р = (Р_l, Р₂,..., Р_j, ..., Р_n) – множество всех возможных состояний среды;

С = (С₁₁, С₁₂,..., С_ij,..., С_mn) – затраты при использовании вариантов системы для всех возможных состояний среды,

где С_ij – затраты при использовании варианта A_i системы и состоянии

среды Р_j.(табл. 7.7).

Требуется спроектировать такую систему, которая обеспечивает минимальные затраты на эксплуатацию.

Таблица 7.7

		Вариант системы Аi	Состояние среды
			Р1	Р2	...	Рj	...	Рn
		А1	C11	C12	...	C1j	...	C1n
		А2	C21	C22	...	C2j	...	C2n
		...	...	...	...	...	...	...
		Аi	Ci1	Ci2	...	Cij	...	Cin
		...	...	...	...	...	...	...
		Аm	Cm1	Cm2	...	Cmj	...	Cmn

Возможны две ситуации:

1) известно априорное распределение вероятностей состояния среды q(Р_j). На начальных этапах проектирования системы проектировщик может иметь некоторую информацию о среде или интуитивно догадываться на основании проектирования предыдущих систем о вероятностных параметрах среды, т.е. проектировщик имеет дело с априорной информацией.

Затраты вычисляются по формуле

(7.11)

(взвешенный вероятностями выигрыш – критерий Байеса)

2) исследователь не имеет информации о состоянии среды, но он имеет или может получить дополнительную информацию по тому или иному косвенному параметру среды, в которой предполагается работать системе. При этом бывают известны:

Р – случайная переменная, характеризующая состояние среды;

Х – случайная переменная, связанная так или иначе с переменной P;

q (Р_j) – aприорное распределение Р_j;

Q(x B=B_j) – условное распределение переменной B при Х= х.

Для определения оптимальной системы требуется найти условное или апостериорное распределение переменной Р при Х= х, то есть, q(Р_j X=x), которое получено на основании известной информации о переменной Х.

Для определения апостериорной вероятности можно использовать формулу Байеса, которая связывает априорную и апостериорную вероятности:

. (7.12)

Затраты для каждой системы в этом случае будут равны:

(7.13)

Окончательно можно представить следующий алгоритм действия исследователя при наличии дополнительной информации.

А. Имея таблицу затрат (табл. 7.7), априорное распределение q(Р_j) (j=1, n), определить по формуле (7.11) ожидаемые затраты для каждой системы при различных состояниях среды, выбрать систему, имеющую наименьшие затраты.

Б. Если априорное распределение неизвестно, то по условному распределению наблюдаемой переменной X для данного состояния среды Р = Р_j, то есть, q(x| Р=Р_j), необходимо:

а) получить надежное значение случайной переменной X, скажем, x;

б)определить апостериорное распределение переменной P_j

по формуле (7.12);

в) вычислить ожидаемые затраты для каждого варианта системы, используя апостериорное распределение q(Р_j | X=x) по формуле (7.13);

г) выбрать вариант системы, имеющий минимальные затраты.

Для определения оптимальной системы в условиях неопределенности с исходной информацией о среде и без нее целесообразно использовать ЭВМ, которая значительно ускоряет процесс поиска оптимальной системы.

85